Resolva as seguintes equações diferenciais considerando \mathrm{x}_{0}=0
y^{\prime \prime}+y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y = 0
considerando que o ponto inicial é x_{0}=0.
O conteúdo usado será: transformação para a equação característica e, depois, aplicação das condições iniciais em x=0.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada a
y'' + y = 0
trocando y por e^{rx}. Isso gera
r^{2} + 1 = 0.

Passo 3

Resolvendo
r^{2} + 1 = 0
obtemos as raízes complexas
r = \pm i.

Passo 4

Para raízes complexas r = \alpha \pm i\beta de uma equação homogênea, a solução geral é
y(x) = C_{1}e^{\alpha x}\cos(\beta x) + C_{2}e^{\alpha x}\sin(\beta x).
Aqui \alpha=0 e \beta=1, logo
y(x) = C_{1}\cos(x) + C_{2}\sin(x).

Passo 5

Agora aplicamos as condições iniciais em x_{0}=0. Chamando y(0)=y_{0} e y'(0)=y_{1}, temos
y(0)=C_{1}\cos(0)+C_{2}\sin(0)=C_{1}=y_{0},
y'(x)=-C_{1}\sin(x)+C_{2}\cos(x) \quad\Longrightarrow\quad y'(0)=C_{2}=y_{1}.
Portanto, escrevendo diretamente em função de y_{0} e y_{1},
y(x)=y_{0}\cos(x)+y_{1}\sin(x).

Resposta

y(x)=C_{1}\cos(x)+C_{2}\sin(x),
sendo, em particular com x_{0}=0,
y(x)=y(0)\cos(x)+y'(0)\sin(x).

Exercícios relacionados