Exercício 4: Calcule os limites no infinito das funções:
16. lim x infty(1-1x)^x compare lim x infty(1-1x)^x^2

Passo 1

O enunciado pede dois limites quando xtoinfty:
L1=limxtoinftyl(1-1xr)^x e L2=limxtoinftyl(1-1xr)^x^2
O conteúdo usado é o de limites exponenciais, aplicando o logaritmo natural e séries para ln(1+u).

Passo 2

Calcular
L1=limxtoinftyl(1-1xr)^x
Defina y=(1-tfrac1x)^x. Então
ln y = xlnl(1-1xr)
Usamos a expansão
lnl(1-1xr) = -1x - 12x^2 + o!l(tfrac1x^2r)
Multiplicando por x
ln y = -1 - 12x + o!l(tfrac1xr);longrightarrow;-1
Como exp é contínua,
L1 = e^-1 = 1e

Passo 3

Calcular
L2=limxtoinftyl(1-1xr)^x^2
Defina z=(1-tfrac1x)^x^2. Então
ln z = x^2lnl(1-1xr) = x^2l(-1x - 12x^2 + o!l(tfrac1x^2r)r) = -x - tfrac12 + o(1)
Portanto ln zto -infty, logo
L2 = exp(-infty) = 0

Passo 4

Comparando os resultados,
L1 = 1eapprox0,3679 e L2 = 0,
logo limxtoinfty(1-tfrac1x)^x^2 é menor do que limxtoinfty(1-tfrac1x)^x.

Resposta

limxtoinftyl(1-1xr)^x=1e,
limxtoinftyl(1-1xr)^x^2=0,
e 0<tfrac1e.

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