Resolva as seguintes equações diferenciais:
d yd x=-(2 x+y)x+3 y^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
dydx = -2x+y,x+3y^2,!,
que pode ser escrita na forma diferencial
(2x+y),dx + (x+3y^2),dy = 0
Identificamos que é uma equação exata, então vamos verificar a exatidão e encontrar a função potencial responsável pela solução implícita.

Passo 2

Definimos
M(x,y) = 2x + y, N(x,y) = x + 3y^2,
de modo que a equação fica
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0

Passo 3

Verificamos a condição de exatidão comparando as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 1, partial Npartial x = 1
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 4

Procuramos uma função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x = M(x,y) = 2x+y
Integrando em relação a x:
phi(x,y) = integral (2x+y),dx = x^2 + x,y + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 5

Para achar h(y), usamos
partial phipartial y = x + h'(y)
e exigimos que isso seja igual a N(x,y)=x+3y^2. Logo,
x + h'(y) = x + 3y^2 Longrightarrow h'(y) = 3y^2 Longrightarrow h(y) = y^3 + C1

Passo 6

Substituindo h(y) em phi, obtemos a função potencial completa
phi(x,y) = x^2 + x,y + y^3
A solução geral da equação diferencial é dada pela condição implícita
phi(x,y) = C,
ou seja,

Resposta

x^2 + x,y + y^3 = C,
onde C é constante de integração.

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