Resolva as seguintes equações diferenciais:
Condições iniciais:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes e satisfazer condições iniciais. Dados fornecidos:
Condições iniciais:
Objetivo: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.
Passo 2
Qual método vamos usar e por quê (explicação didática curta): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes é muito eficiente procurar soluções do tipo
. Isso transforma a equação diferencial numa equação algébrica para
(chamada equação característica). Se entendermos como obter
, conseguimos escrever a solução geral e então aplicar as condições iniciais. Não se preocupe: eu mostro passo a passo.
Passo 3
Propondo
. Derivando temos
e
. Substituindo na equação diferencial obtemos, dividindo por
(que nunca é zero):
Essa é a equação característica. Agora resolvemos essa quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 4
Calcule o discriminante e as raízes da quadrática. O discriminante é
Como
, as raízes são complexas conjugadas. Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto as raízes são
e
.
Passo 5
Quando as raízes são complexas conjugadas da forma
(aqui
,
), a solução real geral da equação é
onde
e
são constantes reais a determinar pelas condições iniciais. Substituindo
e
obtém-se:
Explicação rápida do porquê:
; combinando as duas raízes e exigindo solução real obtemos a forma com seno e cosseno multiplicados por
.
Passo 6
Agora aplicamos as condições iniciais para achar
e
.
Primeiro, calcule
. Usando a solução geral:
Como
(dado), segue que
Passo 7
Precisamos de
. Derivando a solução geral usamos a regra do produto. Começando de
temos
Juntando termos:
Agora use
(do passo anterior) para simplificar:
Passo 8
Aplique a condição
. Avaliando
em
:
Como
, obtemos
Passo 9
Substitua os valores das constantes na solução geral. Lembrando
e
, a solução fica
Essa função satisfaz tanto a equação diferencial quanto as condições iniciais dadas.