Resolva as seguintes equações diferenciais:
\displaystyle x^{\prime \prime}(t)+2 x^{\prime}(t)+5 x(t)=0
Condições iniciais:
\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x(0)=0 \\\ x^{\prime}(0)=3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes e satisfazer condições iniciais. Dados fornecidos:
x''(t)+2x'(t)+5x(t)=0
Condições iniciais:
x(0)=0,\qquad x'(0)=3.
Objetivo: encontrar a função x(t) que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.

Passo 2

Qual método vamos usar e por quê (explicação didática curta): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes é muito eficiente procurar soluções do tipo x(t)=e^{rt}. Isso transforma a equação diferencial numa equação algébrica para r (chamada equação característica). Se entendermos como obter r, conseguimos escrever a solução geral e então aplicar as condições iniciais. Não se preocupe: eu mostro passo a passo.

Passo 3

Propondo x(t)=e^{rt}. Derivando temos x'(t)=r e^{rt} e x''(t)=r^2 e^{rt}. Substituindo na equação diferencial obtemos, dividindo por e^{rt} (que nunca é zero):
r^2+2r+5=0.
Essa é a equação característica. Agora resolvemos essa quadrática para encontrar os valores de r.

Passo 4

Calcule o discriminante e as raízes da quadrática. O discriminante é
\Delta = 2^2-4\cdot1\cdot5 = 4-20 = -16.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas. Usando a fórmula de Bhaskara:
r = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i.
Portanto as raízes são r_1=-1+2i e r_2=-1-2i.

Passo 5

Quando as raízes são complexas conjugadas da forma \alpha \pm \beta i (aqui \alpha=-1, \beta=2), a solução real geral da equação é
x(t)=e^{\alpha t}\big(C_1\cos(\beta t)+C_2\sin(\beta t)\big),
onde C_1 e C_2 são constantes reais a determinar pelas condições iniciais. Substituindo \alpha e \beta obtém-se:
x(t)=e^{-t}\big(C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)\big).
Explicação rápida do porquê: e^{(\alpha\pm i\beta)t}=e^{\alpha t}(\cos(\beta t)\pm i\sin(\beta t)); combinando as duas raízes e exigindo solução real obtemos a forma com seno e cosseno multiplicados por e^{\alpha t}.

Passo 6

Agora aplicamos as condições iniciais para achar C_1 e C_2.
Primeiro, calcule x(0). Usando a solução geral:
x(0)=e^{0}\big(C_1\cos 0 + C_2\sin 0\big)=C_1\cdot 1 + C_2\cdot 0 = C_1.
Como x(0)=0 (dado), segue que
C_1=0.

Passo 7

Precisamos de x'(t). Derivando a solução geral usamos a regra do produto. Começando de
x(t)=e^{-t}\big(C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)\big),
temos
x'(t) = -e^{-t}\big(C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)\big) + e^{-t}\big(-2C_1\sin(2t)+2C_2\cos(2t)\big).
Juntando termos:
x'(t)=e^{-t}\Big[(-C_1+2C_2)\cos(2t)+(-C_2-2C_1)\sin(2t)\Big].
Agora use C_1=0 (do passo anterior) para simplificar:
x'(t)=e^{-t}\Big[2C_2\cos(2t)-C_2\sin(2t)\Big].

Passo 8

Aplique a condição x'(0)=3. Avaliando x'(t) em t=0:
x'(0)=e^{0}\big[2C_2\cos 0 - C_2\sin 0\big]=2C_2\cdot 1 - C_2\cdot 0 = 2C_2.
Como x'(0)=3, obtemos
2C_2=3 \quad\Rightarrow\quad C_2=\tfrac{3}{2}.

Passo 9

Substitua os valores das constantes na solução geral. Lembrando C_1=0 e C_2=\tfrac{3}{2}, a solução fica
x(t)=e^{-t}\Big(0\cdot\cos(2t)+\tfrac{3}{2}\sin(2t)\Big)=\tfrac{3}{2}e^{-t}\sin(2t).
Essa função satisfaz tanto a equação diferencial quanto as condições iniciais dadas.

Resposta

x(t)=\tfrac{3}{2}e^{-t}\sin(2t)

Exercícios relacionados