Resolva as seguintes equações diferenciais exatas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação diferencial exata e quer que eu te ajude a resolver passo a passo. O que a gente vai precisar aqui é entender o que é uma equação diferencial exata e como resolver esse tipo de equação. Basicamente, vamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaça a igualdade dada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa equação. Ela está na forma:
Aqui, podemos chamar:
- $ M(x, y) = x^{4} y - 2 x^{2} $
- $ N(x, y) = \frac{x^{5}}{5} + y^{2} $
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de $ M $ em relação a $ y $ e de $ N $ em relação a $ x $. Se essas derivadas forem iguais, a equação é exata.
Vamos calcular:
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} = x^{4} $, a equação é realmente exata.
Passo 4
Agora que sabemos que a equação é exata, o próximo passo é encontrar uma função potencial $ F(x, y) $ tal que:
Vamos começar integrando $ M(x, y) $ em relação a $ x $:
Integrando termo a termo:
Onde $ h(y) $ é uma função qualquer de $ y $, já que a constante de integração pode depender de $ y $ quando integramos em relação a $ x $.
Então:
Passo 5
Agora, para encontrar $ h(y) $, vamos usar a segunda condição $ \frac{\partial F}{\partial y} = N(x, y) $.
Derivando $ F(x, y) $ em relação a $ y $:
Igualando a $ N(x, y) $:
Isso simplifica para:
Integrando em relação a $ y $:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Agora, substituímos $ h(y) $ na expressão de $ F(x, y) $:
Como $ F(x, y) = constante $, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C $ é uma constante qualquer.