Utilize o teste da de Leibniz para verificar se as séries convergem ou divergem
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado: precisamos verificar se a série
converge ou diverge utilizando o Teste de Leibniz. Para isso, vamos precisar identificar se a sequência dos termos positivos é decrescente e se o limite desses termos tende a zero.
Passo 2
Identificamos o termo geral da série, que é
. Esse é o termo que vamos analisar para aplicar o Teste de Leibniz.
Passo 3
Verificamos se a sequência
é decrescente. Observando que, conforme
aumenta, o denominador
cresce mais rapidamente que o numerador
. Portanto,
diminui à medida que
aumenta, ou seja, a sequência é decrescente.
Passo 4
Agora, calculamos o limite de
quando
tende ao infinito:
Isso mostra que o limite dos termos
é zero.
Passo 5
Como a sequência
é decrescente e seu limite é zero, ambas as condições do Teste de Leibniz são satisfeitas. Portanto, a série converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste de Leibniz.