Utilize o teste da de Leibniz para verificar se as séries convergem ou divergem
(8 pts) sumn=1^infty(-1)^n+1 n^2n^3+4

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado: precisamos verificar se a série sumn=1^infty (-1)^n+1 n^2n^3+4 converge ou diverge utilizando o Teste de Leibniz. Para isso, vamos precisar identificar se a sequência dos termos positivos é decrescente e se o limite desses termos tende a zero.

Passo 2

Identificamos o termo geral da série, que é an = n^2n^3+4. Esse é o termo que vamos analisar para aplicar o Teste de Leibniz.

Passo 3

Verificamos se a sequência an é decrescente. Observando que, conforme n aumenta, o denominador n^3 + 4 cresce mais rapidamente que o numerador n^2. Portanto, an diminui à medida que n aumenta, ou seja, a sequência é decrescente.

Passo 4

Agora, calculamos o limite de an quando n tende ao infinito:
limn to infty n^2n^3+4 = limn to infty 1n + 4n^2 = 0
Isso mostra que o limite dos termos an é zero.

Passo 5

Como a sequência an é decrescente e seu limite é zero, ambas as condições do Teste de Leibniz são satisfeitas. Portanto, a série converge.

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^n+1 n^2n^3+4 converge pelo Teste de Leibniz.

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