Resolva as seguintes equações diferenciais exatas:
l (2 z cos t sen t+z^2 sen t) d t+(sen^2 t-2 z cos t) d z=0 z(0)=3

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial exata e um valor inicial para resolver. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais exatas, que são aquelas onde conseguimos encontrar uma função $ F(t, z) $ tal que a equação seja a derivada total dessa função igual a zero. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata, encontrar $ F(t, z) $ integrando as partes, e usar a condição inicial $ z(0) = 3 $ para achar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que acompanham $ dt $ e $ dz $ na nossa equação. Vamos chamar:
dt
dz

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a equação é exata. Para isso, verificamos se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ z $ é igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ t $. Ou seja, vamos calcular:
M
z
Vemos que:
N
Isso indica que a equação não é exata. Parece que houve um erro na verificação, então vamos reavaliar.

Passo 4

Na verdade, vamos verificar novamente as derivadas parciais:
Calculemos $ \frac{\partial M}{\partial z} $:
partial Mpartial z
M = 2 z cos t sin t + z^2 sin t
E $ \frac{\partial N}{\partial t} $:
partial Mpartial z = 2 cos t sin t + 2 z sin t
partial Npartial t
Então, na verdade, a equação não é exata porque:
N = sin^2 t - 2 z cos t

Passo 5

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Vamos supor que esse fator $ \mu(t) $ depende apenas de $ t $. Multiplicando a equação original por $ \mu(t) $:
mu(t)
Para que isso seja exato, deve satisfazer:
t
Vamos calcular:
mu(t)
mu(t) M dt + mu(t) N dz = 0
Igualando:
d (mu M)dz = d (mu N)dt
Simplificando:
d (mu M)dz = mu partial Mpartial z = mu (2 cos t sin t + 2 z sin t)
Para que isso seja válido para todo $ z $, os coeficientes de $ z $ devem ser iguais:
d (mu N)dt = mu' N + mu partial Npartial t = mu' (sin^2 t - 2 z cos t) + mu (2 sin t cos t)
Dividindo ambos os lados por 2:
mu (2 cos t sin t + 2 z sin t) = mu' (sin^2 t - 2 z cos t) + mu (2 sin t cos t)
Isso nos dá uma equação diferencial para $ \mu(t) $:
2 z mu sin t = mu' (sin^2 t - 2 z cos t)

Passo 6

Resolvendo a equação diferencial para $ \mu(t) $:
mu(t)
Podemos reescrever como:
dmudt = -mu tan t
Integrando ambos os lados:
dmumu = -tan t , dt
Exponentiando:
ln |mu| = ln |cos t| + C
Podemos escolher $ K = 1 $ para simplificar, então:
mu = K cos t

Passo 7

Multiplicando a equação original pelo fator integrante $ \cos t $:
cos t
Simplificando:
cos t (2 z cos t sin t + z^2 sin t) dt + cos t (sin^2 t - 2 z cos t) dz = 0

Passo 8

Agora, a equação é exata. Vamos encontrar a função $ F(t, z) $ tal que:
F(t, z)
Integrando $ \frac{\partial F}{\partial t} $ em relação a $ t $:
partial Fpartial t = 2 z cos^2 t sin t + z^2 cos t sin t
Vamos resolver a integral:
Para o primeiro termo, $ 2 z \cos^{2} t \sin t $:
Fazendo $ u = \cos t $, então $ du = -\sin t dt $, e a integral fica:
partial Fpartial t
Para o segundo termo, $ z^{2} \cos t \sin t $:
t
Então, juntando tudo:
F(t, z) = integral (2 z cos^2 t sin t + z^2 cos t sin t) dt + h(z)

Passo 9

Agora, vamos encontrar $ h(z) $ usando a condição:
h(z)
Calculando $ \frac{\partial F}{\partial z} $ a partir de $ F(t, z) $:
partial Fpartial z = cos t sin^2 t - 2 z cos^2 t
Igualando com a expressão original:
partial Fpartial z
Simplificando:
F(t, z)
Aqui, percebemos que $ h’(z) $ deveria depender apenas de $ z $, mas nossa expressão ainda depende de $ t $, o que indica que pode ter havido um erro na integração. Vamos reconsiderar a abordagem.

Passo 10

Na verdade, podemos simplificar a abordagem ao reconhecer que uma vez que a equação é exata após a multiplicação pelo fator integrante, podemos escrever:
Usando $ M = 2 z \cos^{2} t \sin t + z^{2} \cos t \sin t $, integramos em relação a $ t $:
F(t, z) = integral M , dt + integral (N - partialpartial z integral M , dt) dz
Agora, calculamos $ \frac{\partial F}{\partial z} $:
M = 2 z cos^2 t sin t + z^2 cos t sin t
Igualando com $ N \cdot \mu(t) = \cos t \sin^{2} t - 2 z \cos^{2} t $:
t
Isolando $ h’(z) $:
integral M , dt = -2 z cos^3 t3 - z^2 cos^2 t2 + h(z)
Ainda percebemos que $ h’(z) $ depende de $ t $, o que não deveria acontecer. Isso sugere que precisamos ajustar nossa integraçao ou método. Talvez uma melhor abordagem seja reorganizar a equação.

Passo 11

Vamos tentar encontrar uma função potencial de outra maneira. Sabemos que:
F(t, z) = integral M , dt + integral (N - partialpartial z integral M , dt ) dz
Já integrámos $ M $ em relação a $ t $ e obtivemos:
M
Agora, calculemos $ \frac{\partial F}{\partial z} $:
t
Igualando com $ \mu(t) N $:
F(t, z) = -2 z cos^3 t3 - z^2 cos^2 t2 + h(z)
Resolvendo para $ h’(z) $:
partial Fpartial z
Ainda aparece dependência de $ t $, o que não seria correto para $ h(z) $. Isso indica que talvez o fator integrante depende de mais do que apenas $ t $, ou talvez precisamos reajustar nossa abordagem.

Passo 12

Vamos tentar outra estratégia. Observando a estrutura da equação, podemos reescrever:
(2 z cos t sin t + z^2 sin t) dt + (sin^2 t - 2 z cos t) dz = 0
Podemos fatorar $ \sin t $:
sin t
Vamos dividir ambos os lados por $ \sin t $ (assumindo $ \sin t \neq 0 $):
sin t (2 z cos t + z^2) dt + (sin^2 t - 2 z cos t) dz = 0
Parece complicado, então talvez seja melhor reconsiderar o fator integrante.

Passo 13

Vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa de $ z $. Suponhamos $ \mu(z) $. Então, a condição para exatidão:
z
Calculando:
mu(z)
d (mu M)dz = d (mu N)dt
Igualando:
partial (mu M)partial z = mu partial Mpartial z + M d mudz
Simplificando:
partial (mu N)partial t = mu partial Npartial t
Substituindo $ M = 2 z \cos t \sin t + z^{2} \sin t $:
mu (2 cos t sin t + 2 z sin t) + M d mudz = mu (2 sin t cos t)
Isso ainda parece complicado, então vamos concluir que encontrar um fator integrante depende de uma abordagem mais avançada que está além do escopo atual. Portanto, pode ser necessário reconsiderar a exatidão da equação ou buscar métodos alternativos.

Resposta

Após várias tentativas de encontrar o fator integrante e integrar a equação, percebemos que a equação diferencial apresentada não é exata e não conseguimos resolver diretamente com as técnicas usuais de equações diferenciais exatas. Recomenda-se revisar o enunciado ou utilizar métodos alternativos para resolver esta equação.

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