Resolva as seguintes equações diferenciais exatas:
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial exata e um valor inicial para resolver. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais exatas, que são aquelas onde conseguimos encontrar uma função $ F(t, z) $ tal que a equação seja a derivada total dessa função igual a zero. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata, encontrar $ F(t, z) $ integrando as partes, e usar a condição inicial $ z(0) = 3 $ para achar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que acompanham $ dt $ e $ dz $ na nossa equação. Vamos chamar:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a equação é exata. Para isso, verificamos se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ z $ é igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ t $. Ou seja, vamos calcular:
Vemos que:
Isso indica que a equação não é exata. Parece que houve um erro na verificação, então vamos reavaliar.
Passo 4
Na verdade, vamos verificar novamente as derivadas parciais:
Calculemos $ \frac{\partial M}{\partial z} $:
E $ \frac{\partial N}{\partial t} $:
Então, na verdade, a equação não é exata porque:
Passo 5
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Vamos supor que esse fator $ \mu(t) $ depende apenas de $ t $. Multiplicando a equação original por $ \mu(t) $:
Para que isso seja exato, deve satisfazer:
Vamos calcular:
Igualando:
Simplificando:
Para que isso seja válido para todo $ z $, os coeficientes de $ z $ devem ser iguais:
Dividindo ambos os lados por 2:
Isso nos dá uma equação diferencial para $ \mu(t) $:
Passo 6
Resolvendo a equação diferencial para $ \mu(t) $:
Podemos reescrever como:
Integrando ambos os lados:
Exponentiando:
Podemos escolher $ K = 1 $ para simplificar, então:
Passo 7
Multiplicando a equação original pelo fator integrante $ \cos t $:
Simplificando:
Passo 8
Agora, a equação é exata. Vamos encontrar a função $ F(t, z) $ tal que:
Integrando $ \frac{\partial F}{\partial t} $ em relação a $ t $:
Vamos resolver a integral:
Para o primeiro termo, $ 2 z \cos^{2} t \sin t $:
Fazendo $ u = \cos t $, então $ du = -\sin t dt $, e a integral fica:
Para o segundo termo, $ z^{2} \cos t \sin t $:
Então, juntando tudo:
Passo 9
Agora, vamos encontrar $ h(z) $ usando a condição:
Calculando $ \frac{\partial F}{\partial z} $ a partir de $ F(t, z) $:
Igualando com a expressão original:
Simplificando:
Aqui, percebemos que $ h’(z) $ deveria depender apenas de $ z $, mas nossa expressão ainda depende de $ t $, o que indica que pode ter havido um erro na integração. Vamos reconsiderar a abordagem.
Passo 10
Na verdade, podemos simplificar a abordagem ao reconhecer que uma vez que a equação é exata após a multiplicação pelo fator integrante, podemos escrever:
Usando $ M = 2 z \cos^{2} t \sin t + z^{2} \cos t \sin t $, integramos em relação a $ t $:
Agora, calculamos $ \frac{\partial F}{\partial z} $:
Igualando com $ N \cdot \mu(t) = \cos t \sin^{2} t - 2 z \cos^{2} t $:
Isolando $ h’(z) $:
Ainda percebemos que $ h’(z) $ depende de $ t $, o que não deveria acontecer. Isso sugere que precisamos ajustar nossa integraçao ou método. Talvez uma melhor abordagem seja reorganizar a equação.
Passo 11
Vamos tentar encontrar uma função potencial de outra maneira. Sabemos que:
Já integrámos $ M $ em relação a $ t $ e obtivemos:
Agora, calculemos $ \frac{\partial F}{\partial z} $:
Igualando com $ \mu(t) N $:
Resolvendo para $ h’(z) $:
Ainda aparece dependência de $ t $, o que não seria correto para $ h(z) $. Isso indica que talvez o fator integrante depende de mais do que apenas $ t $, ou talvez precisamos reajustar nossa abordagem.
Passo 12
Vamos tentar outra estratégia. Observando a estrutura da equação, podemos reescrever:
Podemos fatorar $ \sin t $:
Vamos dividir ambos os lados por $ \sin t $ (assumindo $ \sin t \neq 0 $):
Parece complicado, então talvez seja melhor reconsiderar o fator integrante.
Passo 13
Vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa de $ z $. Suponhamos $ \mu(z) $. Então, a condição para exatidão:
Calculando:
Igualando:
Simplificando:
Substituindo $ M = 2 z \cos t \sin t + z^{2} \sin t $:
Isso ainda parece complicado, então vamos concluir que encontrar um fator integrante depende de uma abordagem mais avançada que está além do escopo atual. Portanto, pode ser necessário reconsiderar a exatidão da equação ou buscar métodos alternativos.
Resposta
Após várias tentativas de encontrar o fator integrante e integrar a equação, percebemos que a equação diferencial apresentada não é exata e não conseguimos resolver diretamente com as técnicas usuais de equações diferenciais exatas. Recomenda-se revisar o enunciado ou utilizar métodos alternativos para resolver esta equação.