Utilize o teste da Integral para se as séries convergen ou divergem
(8 pts) sumn=3^infty n^2e^n

Passo 1

Olá! Vamos resolver juntos esse exercício que pede para usarmos o Teste da Integral para descobrir se a série sumn=3^infty n^2e^n converge ou diverge. O Teste da Integral é uma ferramenta da matemática que ajuda a determinar o comportamento de séries, especialmente quando temos termos que envolvem funções contínuas, positivas e decrescentes. Vamos precisar entender como aplicar esse teste passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos associar a série a uma função contínua, positiva e decrescente. No nosso caso, podemos considerar a função $ f(x) = \frac{x{2}}{e{x}} $. Verificamos que para $ x \geq 3 $, essa função é positiva e tende a zero conforme $ x $ cresce, além de ser decrescente porque o denominador $ e^{x} $ cresce mais rápido que o numerador $ x^{2} $.

Passo 3

Agora, aplicamos o Teste da Integral. Esse teste nos diz que a série sumn=3^infty f(n) converge se e somente se a integral integral3^infty f(x) , dx também converge. Então, vamos calcular a integral:
integral3^infty x^2e^x , dx

Passo 4

Para resolver essa integral, podemos usar a técnica de integração por partes, que é útil para integrais onde temos um produto de funções. Vamos definir:
u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx
dv = 1e^x , dx Rightarrow v = -1e^x
Aplicando a integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du = -x^2e^x + 2 integral xe^x , dx
Agora, precisamos resolver a nova integral integral xe^x , dx, aplicando novamente a integração por partes:
u = x Rightarrow du = dx
dv = 1e^x , dx Rightarrow v = -1e^x
Então:
integral xe^x , dx = -xe^x + integral 1e^x , dx = -xe^x - 1e^x + C
Voltando à integral original:
integral x^2e^x , dx = -x^2e^x + 2(-xe^x - 1e^x) + C = -x^2 + 2x + 2e^x + C

Passo 5

Agora, avaliamos a integral imprópria de 3 a infinito:
integral3^infty x^2e^x , dx = limb to infty [ -x^2 + 2x + 2e^x ]3^b
Calculando o limite quando $ b \to \infty $:
b to infty
E avaliando em $ x = 3 $:
limb to infty ( -b^2 + 2b + 2e^b ) = 0
Portanto:
x = 3

Resposta

A série sumn=3^infty n^2e^n converge pelo Teste da Integral.

Exercícios relacionados