Utilize o teste da Integral para se as séries convergen ou divergem
Passo 1
Olá! Vamos resolver juntos esse exercício que pede para usarmos o Teste da Integral para descobrir se a série
converge ou diverge. O Teste da Integral é uma ferramenta da matemática que ajuda a determinar o comportamento de séries, especialmente quando temos termos que envolvem funções contínuas, positivas e decrescentes. Vamos precisar entender como aplicar esse teste passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos associar a série a uma função contínua, positiva e decrescente. No nosso caso, podemos considerar a função $ f(x) = \frac{x{2}}{e{x}} $. Verificamos que para $ x \geq 3 $, essa função é positiva e tende a zero conforme $ x $ cresce, além de ser decrescente porque o denominador $ e^{x} $ cresce mais rápido que o numerador $ x^{2} $.
Passo 3
Agora, aplicamos o Teste da Integral. Esse teste nos diz que a série
converge se e somente se a integral
também converge. Então, vamos calcular a integral:
Passo 4
Para resolver essa integral, podemos usar a técnica de integração por partes, que é útil para integrais onde temos um produto de funções. Vamos definir:
Aplicando a integração por partes:
Agora, precisamos resolver a nova integral
, aplicando novamente a integração por partes:
Então:
Voltando à integral original:
Passo 5
Agora, avaliamos a integral imprópria de 3 a infinito:
Calculando o limite quando $ b \to \infty $:
E avaliando em $ x = 3 $:
Portanto:
Resposta
A série
converge pelo Teste da Integral.