Resolva as seguintes equações diferenciais exatas:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos uma equação diferencial exata dada por:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais exatas, que nos permitem encontrar uma função potencial cuja derivada coincide com os termos dados. Para resolver, precisamos verificar a exatidão da equação e, em seguida, integrar adequadamente para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, identificamos $ M(x,y) = 3x + 2y $ e $ N(x,y) = 2x + y $. A equação é exata se:
Calculando as derivadas parciais:
Como $ 2 = 2 $, a equação é de fato exata.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a função potencial $ F(x,y) $ tal que:
Integrando $ M $ em relação a $ x $:
Aqui, $ h(y) $ é uma função que depende apenas de $ y $ e aparece como constante de integração.
Passo 4
Em seguida, derivamos $ F(x,y) $ em relação a $ y $ e igualamos a $ N = 2x + y $:
Assim, temos:
Integrando $ h’(y) $ em relação a $ y $:
onde $ C $ é uma constante de integração.
Passo 5
Agora, substituímos $ h(y) $ na expressão de $ F(x,y) $:
A solução geral da equação diferencial exata é dada por $ F(x,y) = constante $.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: