Resolva as seguintes equações diferenciais exatas:
(3 x+2 y) d x+(2 x+y) d y=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos uma equação diferencial exata dada por:
(3x + 2y) , dx + (2x + y) , dy = 0
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais exatas, que nos permitem encontrar uma função potencial cuja derivada coincide com os termos dados. Para resolver, precisamos verificar a exatidão da equação e, em seguida, integrar adequadamente para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, identificamos $ M(x,y) = 3x + 2y $ e $ N(x,y) = 2x + y $. A equação é exata se:
M(x,y) = 3x + 2y
Calculando as derivadas parciais:
N(x,y) = 2x + y
Como $ 2 = 2 $, a equação é de fato exata.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a função potencial $ F(x,y) $ tal que:
F(x,y)
Integrando $ M $ em relação a $ x $:
partial Fpartial x = M = 3x + 2y
Aqui, $ h(y) $ é uma função que depende apenas de $ y $ e aparece como constante de integração.

Passo 4

Em seguida, derivamos $ F(x,y) $ em relação a $ y $ e igualamos a $ N = 2x + y $:
F(x,y)
Assim, temos:
y
Integrando $ h’(y) $ em relação a $ y $:
N = 2x + y
onde $ C $ é uma constante de integração.

Passo 5

Agora, substituímos $ h(y) $ na expressão de $ F(x,y) $:
h(y)
A solução geral da equação diferencial exata é dada por $ F(x,y) = constante $.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
32x^2 + 2xy + 12y^2 = C

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