Mostre que a equação diferencial homogênea
(A x+B y) d x+(C x+D y) d y=0
é exata somente se B=C.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial homogênea da forma:
(Ax + By) dx + (Cx + Dy) dy = 0
O conteúdo que vamos usar aqui é equações diferenciais exatas. Para uma equação ser exata, certas condições precisam ser satisfeitas. Vamos precisar verificar se essas condições se aplicam à nossa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial exata. Uma equação da forma:
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0
é exata se existir uma função $ \Phi(x, y) $ tal que:
Phi(x, y)
Para que isso seja possível, as derivadas parciais cruzadas devem ser iguais, ou seja:
partial Phipartial x = M e partial Phipartial y = N

Passo 3

Aplicando isso à nossa equação:
M(x, y) = A x + B y N(x, y) = C x + D y
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 4

Calculando $ \frac{\partial M}{\partial y} $:
partial Mpartial y

Passo 5

Calculando $ \frac{\partial N}{\partial x} $:
partial Npartial x

Passo 6

Para que a equação seja exata, precisamos que:
partial Mpartial y = partial Npartial x B = C

Resposta

A equação diferencial homogênea $ (A x + B y) dx + (C x + D y) dy = 0 $ é exata somente se $ B = C $.

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