Mostre que a equação diferencial homogênea
é exata somente se
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial homogênea da forma:
O conteúdo que vamos usar aqui é equações diferenciais exatas. Para uma equação ser exata, certas condições precisam ser satisfeitas. Vamos precisar verificar se essas condições se aplicam à nossa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial exata. Uma equação da forma:
é exata se existir uma função $ \Phi(x, y) $ tal que:
Para que isso seja possível, as derivadas parciais cruzadas devem ser iguais, ou seja:
Passo 3
Aplicando isso à nossa equação:
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 4
Calculando $ \frac{\partial M}{\partial y} $:
Passo 5
Calculando $ \frac{\partial N}{\partial x} $:
Passo 6
Para que a equação seja exata, precisamos que:
Resposta
A equação diferencial homogênea $ (A x + B y) dx + (C x + D y) dy = 0 $ é exata somente se $ B = C $.