Resolva as seguintes equações diferenciais explicitando, sempre que possível, suas soluções e os intervalos onde tais soluções são válidas.
Passo 1
O enunciado dá a EDO de primeira ordem separável com condição inicial: \ Conteúdo: EDOs separáveis. Precisamos identificar que podemos separar variáveis y e x, integrar e aplicar a condição inicial y(0)=1.
Passo 2
Começamos isolando y′ de modo a escrever tudo em função de x e y. A equação é:
Rearranjando, temos
Multiplicando ambos os lados por e^{x}, obtém-se
Passo 3
Agora vemos que y y’ = y
, então podemos separar variáveis:
Integramos os dois lados:
Passo 4
Calcule as integrais. No lado esquerdo:
No lado direito usamos integração por partes em
Juntando and absorvendo constantes em C, resulta
Passo 5
Usamos y(0)=1 para achar C. Em x=0, y=1:
Então a relação implícita é
Passo 6
Isolando y e escolhendo o ramo compatível com y(0)=1>0, temos
Passo 7
Para a validade precisamos que o radicando seja não negativo: defina
e ache as raízes de
o que leva à solução em termos de funções W de Lambert:
Há duas raízes reais:
Como y(0)=1 está entre essas raízes, a solução é válida em
.
Resposta
A solução explícita com a escolha de ramo positivo é
válida no intervalo
com