Resolva as seguintes equações diferenciais explicitando, sempre que possível, suas soluções e os intervalos onde tais soluções são válidas.
x+y e^-x y^prime=0, y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a EDO de primeira ordem separável com condição inicial: \ Conteúdo: EDOs separáveis. Precisamos identificar que podemos separar variáveis y e x, integrar e aplicar a condição inicial y(0)=1.

Passo 2

Começamos isolando y′ de modo a escrever tudo em função de x e y. A equação é:
x + y e^-xy' = 0
Rearranjando, temos
y e^-xy' = -x
Multiplicando ambos os lados por e^{x}, obtém-se
y y' = -x e^x

Passo 3

Agora vemos que y y’ = y dy/dx, então podemos separar variáveis:
ydydx = -x e^x Longrightarrow y,dy = -x e^x,dx
Integramos os dois lados:
integral y,dy = integral -x e^x,dx

Passo 4

Calcule as integrais. No lado esquerdo:
integral y,dy = y^22 + C1
No lado direito usamos integração por partes em integral x e^xdx = x e^x - e^x + C2, logo
integral -x e^xdx = -x e^x + e^x + C2
Juntando and absorvendo constantes em C, resulta
y^22 = -x e^x + e^x + C

Passo 5

Usamos y(0)=1 para achar C. Em x=0, y=1:
1^22 = -0cdot e^0 + e^0 + C Longrightarrow 12 = 1 + C Longrightarrow C = -12
Então a relação implícita é
y^22 = -x e^x + e^x - 12

Passo 6

Isolando y e escolhendo o ramo compatível com y(0)=1>0, temos
y(x) = raiz2e^x(1 - x) - 1

Passo 7

Para a validade precisamos que o radicando seja não negativo: defina
f(x) = 2e^x(1 - x) - 1
e ache as raízes de f(x)=0. Elas vêm de resolver
(1 - x)e^x = 12,
o que leva à solução em termos de funções W de Lambert:
x = 1 + Wl(-tfrac12er)
Há duas raízes reais:
x1 = 1 + W-1l(-tfrac12er)approx -0.498, x2 = 1 + W0l(-tfrac12er)approx 0.761
Como y(0)=1 está entre essas raízes, a solução é válida em (x1,x2).

Resposta

A solução explícita com a escolha de ramo positivo é
y(x)=raiz2e^x(1-x)-1,
válida no intervalo
l(x1,x2r),
com
x1=1+W-1l(-tfrac12er)approx-0.498, x2=1+W0l(-tfrac12er)approx0.761

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