Resolva as seguintes equações diferenciais explicitando, sempre que possível, suas soluções e os intervalos onde tais soluções são válidas.
y^prime=2 x+y3+3 y^2-x, y(0)=0

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação diferencial de primeira ordem com condição inicial y(0)=0, e pede para resolver explicitando soluções e intervalos de validade. O conteúdo principal aqui é reconhecer que ela pode ser colocada na forma de equação exata e usar teoria de equações diferenciais exatas para resolver.

Passo 2

Reescrevemos y'=2x+y3+3y^2-x como forma diferencial M(x,y),dx + N(x,y),dy=0. Multiplicando ambos os lados por dx, temos
-(2x+y),dx + (3+3y^2-x),dy = 0,
logo definimos
M(x,y) = -(2x+y),
N(x,y) = 3 + 3y^2 - x

Passo 3

Verificamos a exatidão calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y = -1,
partial Npartial x = -1
Como são iguais, a equação é exata.

Passo 4

Para encontrar a função potencial phi(x,y) satisfazendo phix = M e phiy = N, integramos M em relação a x:
phi(x,y) = integral (-(2x+y)),dx = -x^2 - x y + h(y)
Em seguida, derivamos em relação a y:
phiy = -x + h'(y)
e igualamos a N=3+3y^2-x, obtendo
h'(y)=3+3y^2implies h(y)=3y+y^3+C
Assim,
phi(x,y) = -x^2 - xy + 3y + y^3

Passo 5

A solução geral implícita vem de phi(x,y)=C:
y^3 - x^2 - x y + 3y = C
Usando y(0)=0 temos
0^3 - 0 - 0 + 3cdot0 = C implies C=0,
logo a solução implícita é
y^3 - x^2 - x y + 3y = 0

Passo 6

Pela Teoria de Equações Exatas e pelo Teorema da Função Implícita, como
partial Npartial y(0,0)=3neq0
o ponto inicial é não singular e garante existência e unicidade local. Além disso, analisando simultaneamente
y^3 - x^2 - x y + 3y = 0
e a condição de singularidade do denominador 3+3y^2-x=0, chega-se a que não ocorrem colisões, de modo que a solução pode ser estendida para todo xin R.

Resposta

A solução da EDO com y(0)=0 é dada implicitamente por
y^3 - x^2 - x y + 3y = 0
Ela é válida para todo xin R.

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