Resolva as seguintes equações diferenciais explicitando, sempre que possível, suas soluções e os intervalos onde tais soluções são válidas.
Passo 1
O enunciado nos dá uma equação diferencial de primeira ordem com condição inicial
, e pede para resolver explicitando soluções e intervalos de validade. O conteúdo principal aqui é reconhecer que ela pode ser colocada na forma de equação exata e usar teoria de equações diferenciais exatas para resolver.
Passo 2
Reescrevemos
como forma diferencial
. Multiplicando ambos os lados por
, temos
logo definimos
Passo 3
Verificamos a exatidão calculando as derivadas parciais:
Como são iguais, a equação é exata.
Passo 4
Para encontrar a função potencial
satisfazendo
e
, integramos
em relação a
:
Em seguida, derivamos em relação a
:
e igualamos a
, obtendo
Assim,
Passo 5
A solução geral implícita vem de
:
Usando
temos
logo a solução implícita é
Passo 6
Pela Teoria de Equações Exatas e pelo Teorema da Função Implícita, como
o ponto inicial é não singular e garante existência e unicidade local. Além disso, analisando simultaneamente
e a condição de singularidade do denominador
, chega-se a que não ocorrem colisões, de modo que a solução pode ser estendida para todo
.
Resposta
A solução da EDO com
é dada implicitamente por
Ela é válida para todo
.