Resolva as seguintes equações diferenciais explicitando, sempre que possível, suas soluções e os intervalos onde tais soluções são válidas.
y^prime=-3 x^2 y+y^22 x^3+3 x y, y(1)=-2.

Passo 1

Temos a EDO de primeira ordem com condição inicial: ,y’ = -\frac{3x^2y + y2}{2x3 + 3xy}, y(1) = -2. O assunto aqui é equações diferenciais exatas e fator integrante. Vamos colocar a equação na forma M,dx + N,dy = 0 e ver como encontrar uma solução.

Passo 2

Escrevemos
M(x,y) = 3x^2y + y^2, N(x,y) = 2x^3 + 3xy,
então a EDO fica
(3x^2y + y^2),dx + (2x^3 + 3xy),dy = 0

Passo 3

Verificamos que não é exata, pois My = 3x^2 + 2y e Nx = 6x^2 + 3y são diferentes. Buscamos um fator integrante do tipo mu = x^m y^n.

Passo 4

Calculamos as condições de exatidão para mu M,dx + mu N,dy = 0 e achamos
m = 0, n = 1,logo mu(x,y) = y.

Passo 5

Multiplicando a equação por y, temos a forma exata
(3x^2y^2 + y^3),dx + (2x^3y + 3xy^2),dy = 0

Passo 6

Procuramos uma função potencial phi(x,y) tal que
phix = 3x^2y^2 + y^3, phiy = 2x^3y + 3xy^2

Passo 7

Integrando phix em relação a x:
phi(x,y) = integral(3x^2y^2 + y^3)dx = x^3y^2 + xy^3 + h(y)

Passo 8

Derivando em relação a y e igualando a phiy resulta em h'(y)=0, então
phi(x,y) = x^3y^2 + xy^3 = C

Passo 9

Impondo a condição inicial x=1, y=-2:
1^3cdot(-2)^2 + 1cdot(-2)^3 = 4 - 8 = -4,logo C = -4. A solução implícita é
x^3y^2 + xy^3 = -4

Passo 10

A solução é válida em qualquer intervalo contendo x=1 onde a EDO original seja bem definida, ou seja xneq 0, yneq 0 e 2x^3 + 3xy neq 0 (isto é, y neq -tfrac23x^2).

Resposta

A solução geral que satisfaz a condição inicial é dada implicitamente por
x^3y^2 + xy^3 = -4
válida em todo intervalo que contenha x=1 e onde xneq0, yneq0, yneq -tfrac23x^2.

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