Resolva as seguintes equações diferenciais explicitando, sempre que possível, suas soluções e os intervalos onde tais soluções são válidas.
.
Passo 1
Temos a EDO de primeira ordem com condição inicial: ,y’ = -\frac{3x^2y + y2}{2x3 + 3xy}, y(1) = -2. O assunto aqui é equações diferenciais exatas e fator integrante. Vamos colocar a equação na forma M,dx + N,dy = 0 e ver como encontrar uma solução.
Passo 2
Escrevemos
então a EDO fica
Passo 3
Verificamos que não é exata, pois
e
são diferentes. Buscamos um fator integrante do tipo
.
Passo 4
Calculamos as condições de exatidão para
e achamos
Passo 5
Multiplicando a equação por
, temos a forma exata
Passo 6
Procuramos uma função potencial
tal que
Passo 7
Integrando
em relação a
:
Passo 8
Derivando em relação a
e igualando a
resulta em
, então
Passo 9
Impondo a condição inicial
:
Passo 10
A solução é válida em qualquer intervalo contendo
onde a EDO original seja bem definida, ou seja
,
e
(isto é,
).
Resposta
A solução geral que satisfaz a condição inicial é dada implicitamente por
válida em todo intervalo que contenha
e onde
,
,
.