Resolva as seguintes equações diferenciais explicitando, sempre que possível, suas soluções e os intervalos onde tais soluções são válidas.
x y^prime+2 y=sen xx, y(2)=1

Passo 1

O enunciado dá uma EDO de primeira ordem linear: x y' + 2y = sin xx com condição inicial y(2)=1. Vamos escrever em forma padrão e usar fator integrante.

Passo 2

Dividindo por x (supondo xneq0) obtemos a forma padrão
y' + 2xy = sin xx^2
Aqui o coeficiente de y é 2/x.

Passo 3

O fator integrante é
mu(x) = expl(integral 2x,dxr) = exp(2ln|x|) = x^2
(para x>0 fica simples como x^2).

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por x^2, temos
x^2 y' + 2x y = x^2cdotsin xx^2 Longrightarrow (x^2 y)' = sin x

Passo 5

Agora integramos ambos os lados:
integral (x^2 y)',dx = integral sin x,dx
x^2 y = -cos x + C

Passo 6

Isolando y:
y(x) = -cos x + Cx^2

Passo 7

Usando y(2)=1:
1 = -cos2 + C4 Longrightarrow C = 4 + cos2

Passo 8

Concluímos que a solução é
y(x) = 4 + cos2 - cos xx^2
e é válida em qualquer intervalo que não contenha x=0, em particular em (0,infty) onde está a condição inicial.

Resposta

y(x) = dfrac4 + cos2 - cos xx^2, x>0

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