Resolva as seguintes equações diferenciais:
x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 x \frac{d y}{d x}+2 y=3 x

Passo 1

O problema pede para resolver a equação diferencial
x^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-2x\frac{dy}{dx}+2y=3x,
procurando a solução geral y(x). Informações dadas e observações iniciais úteis:
  • A incógnita é a função y de x.
  • A equação envolve coeficientes dependentes de x com fatores x^{2}, x e constante.
  • A equação é válida para x\neq 0; as manipulações abaixo usam \ln|x| quando necessário, portanto a solução será válida para x>0 e também para x<0 (se usar \ln|x|).
  • O objetivo final é encontrar a solução geral, que combina a solução da equação homogênea e uma solução particular da equação não homogênea.

Passo 2

Identificar e resolver a equação homogênea associada. Escreve-se a homogênea:
x^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-2x\frac{dy}{dx}+2y=0.
Explicação didática do método que vou usar aqui (passo a passo): quando uma equação linear de segunda ordem tem potências de x multiplicando as derivadas exatamente como x^{2}y'', x y', etc., ela é do tipo “Eulers–Cauchy” (às vezes chamada só de equação de Euler). Uma técnica eficaz é tentar uma solução do tipo
y=x^{m},
onde m é um número (possivelmente complexo). Isso funciona porque derivar potências de x produz fatores que se combinam com os mesmos graus de x, resultando numa equação algébrica para m.

Passo 3

Aplicar y=x^{m} na homogênea e obter a equação característica.
Calcule as derivadas:
\frac{dy}{dx}=m x^{m-1},\qquad \frac{d^{2}y}{dx^{2}}=m(m-1)x^{m-2}.
Substituindo em x^{2}y''-2x y'+2y=0:
x^{2}\cdot m(m-1)x^{m-2}-2x\cdot m x^{m-1}+2 x^{m}=0.
Fatorando x^{m} (que não é zero para x\neq0) obtemos a equação característica em m:
m(m-1)-2m+2=0.
Simplificando:
m^{2}-m-2m+2=m^{2}-3m+2=0.
Resolver a quadrática:
m^{2}-3m+2=(m-1)(m-2)=0,
logo as raízes são m=1 e m=2.
Portanto as soluções independentes da homogênea são x^{1} e x^{2}, e a solução geral da homogênea é
y_{h}=C_{1}x + C_{2}x^{2},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 4

Encontrar uma solução particular y_{p} da equação completa. Observação importante (ressonância): o termo do lado direito é 3x, ou seja, proporcional a x^{1}. Como x^{1} já aparece na solução homogênea (é solução associada a m=1), uma tentativa direta y_{p}=A x falharia (porque resultaria numa identidade verdadeira apenas para o lado homogêneo). Quando há essa coincidência (o termo for uma solução da homogênea), devemos multiplicar a tentativa por \ln|x| uma vez (porque a raiz m=1 é simples). Assim tentamos:
y_{p}=A x\ln|x|,
onde A é uma constante a determinar.
Agora calculemos as derivadas de y_{p}. Primeiro, use a regra do produto e a derivada de \ln|x|:
\frac{dy_{p}}{dx}=A\frac{d}{dx}\bigl(x\ln|x|\bigr)=A(\ln|x|+1),
porque \frac{d}{dx}(x\ln|x|)=\ln|x|+1. Em seguida,
\frac{d^{2}y_{p}}{dx^{2}}=A\frac{d}{dx}(\ln|x|+1)=A\cdot\frac{1}{x}.
(Mesma fórmula funciona para x>0 ou x<0 com \ln|x|.)
Substitua y_{p}, y_{p}' e y_{p}'' na equação diferencial:
x^{2}\cdot\Bigl(A\frac{1}{x}\Bigr)-2x\cdot\bigl(A(\ln|x|+1)\bigr)+2\cdot\bigl(A x\ln|x|\bigr)=3x.
Simplificando termo a termo:
x^{2}\cdot A\frac{1}{x}=A x,
-2x\cdot A(\ln|x|+1)=-2A x\ln|x|-2A x,
2\cdot A x\ln|x|=2A x\ln|x|.
Agora some os três resultados:
A x +\bigl(-2A x\ln|x|-2A x\bigr)+2A x\ln|x| = A x -2A x = -A x.
Ou seja, a substituição dá à esquerda o valor -A x. Igualando ao lado direito 3x temos
-A x = 3x \quad\Rightarrow\quad A=-3.
Portanto a solução particular é
y_{p}=-3x\ln|x|.

Passo 5

Combinar solução homogênea e particular para obter a solução geral. A solução geral da equação diferencial é
y(x)=y_{h}+y_{p}=C_{1}x + C_{2}x^{2}-3x\ln|x|.
Comentário final de prova/cheat-tip: quando a equação é do tipo Euler ( x^{2}y''+ax y'+by), sempre tente x^{m} para a homogênea; para o termo não homogêneo que é uma potência de x usar tentativas do tipo x^{r}(\ln|x|)^{k} com k igual à multiplicidade da raiz r na equação característica. Isso evita tentativas erradas e economiza tempo. Força aí — dá pra gabaritar essas se pegar o padrão!

Resposta

y(x)=C_{1}x + C_{2}x^{2}-3x\ln|x|.

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