Resolva as seguintes equações diferenciais:
Passo 1
O problema pede para resolver a equação diferencial
procurando a solução geral
. Informações dadas e observações iniciais úteis:
- A incógnita é a função
de . - A equação envolve coeficientes dependentes de
com fatores , e constante. - A equação é válida para
; as manipulações abaixo usam quando necessário, portanto a solução será válida para e também para (se usar ). - O objetivo final é encontrar a solução geral, que combina a solução da equação homogênea e uma solução particular da equação não homogênea.
Passo 2
Identificar e resolver a equação homogênea associada. Escreve-se a homogênea:
Explicação didática do método que vou usar aqui (passo a passo): quando uma equação linear de segunda ordem tem potências de
multiplicando as derivadas exatamente como
,
, etc., ela é do tipo “Eulers–Cauchy” (às vezes chamada só de equação de Euler). Uma técnica eficaz é tentar uma solução do tipo
onde
é um número (possivelmente complexo). Isso funciona porque derivar potências de
produz fatores que se combinam com os mesmos graus de
, resultando numa equação algébrica para
.
Passo 3
Aplicar
na homogênea e obter a equação característica.
Calcule as derivadas:
Substituindo em
:
Fatorando
(que não é zero para
) obtemos a equação característica em
:
Simplificando:
Resolver a quadrática:
logo as raízes são
e
.
Portanto as soluções independentes da homogênea são
e
, e a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Encontrar uma solução particular
da equação completa. Observação importante (ressonância): o termo do lado direito é
, ou seja, proporcional a
. Como
já aparece na solução homogênea (é solução associada a
), uma tentativa direta
falharia (porque resultaria numa identidade verdadeira apenas para o lado homogêneo). Quando há essa coincidência (o termo for uma solução da homogênea), devemos multiplicar a tentativa por
uma vez (porque a raiz
é simples). Assim tentamos:
onde
é uma constante a determinar.
Agora calculemos as derivadas de
. Primeiro, use a regra do produto e a derivada de
:
porque
. Em seguida,
(Mesma fórmula funciona para
ou
com
.)
Substitua
,
e
na equação diferencial:
Simplificando termo a termo:
Agora some os três resultados:
Ou seja, a substituição dá à esquerda o valor
. Igualando ao lado direito
temos
Portanto a solução particular é
Passo 5
Combinar solução homogênea e particular para obter a solução geral. A solução geral da equação diferencial é
Comentário final de prova/cheat-tip: quando a equação é do tipo Euler (
), sempre tente
para a homogênea; para o termo não homogêneo que é uma potência de
usar tentativas do tipo
com
igual à multiplicidade da raiz
na equação característica. Isso evita tentativas erradas e economiza tempo. Força aí — dá pra gabaritar essas se pegar o padrão!