Resolva as seguintes equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
e pede a solução geral
. Observações e dados importantes que o enunciado fornece:
- A equação é linear, não homogênea, de segunda ordem.
- O termo do lado direito é
, portanto a solução só faz sentido para (aqui vou assumir ). - Devemos encontrar a solução geral, que é a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática): as potências de
multiplicando as derivadas sugerem uma equação do tipo Euler–Cauchy. Um método padrão e bem prático é fazer a mudança de variável
e definir
Essa mudança transforma a equação com coeficientes que são potências de
numa equação com coeficientes constantes em
. Antes de aplicar, explico por que isso funciona: quando escrevemos derivadas em relação a
usando
, as potências de
se compensam com fatores vindos de
, simplificando os coeficientes.
Passo 3
Calcular
e
em termos de
. Usando a regra da cadeia:
onde
. Agora derivamos novamente:
Para derivar
em relação a
usamos a cadeia:
. Então
Resumo das fórmulas úteis que vamos usar:
Passo 4
Substituir essas expressões na equação original. Temos
O lado direito
em termos de
é simplesmente
. Assim a equação transformada é a equação linear com coeficientes constantes
onde agora as derivadas são em relação a
.
Passo 5
Resolver a equação homogênea associada em
:
Formamos a equação característica
, que é
ou seja, raiz
de multiplicidade
. Para uma raiz dupla a solução geral homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias. Observação de correspondência com
: como
e
, isso corresponde a
que é a solução homogênea da equação original (boa checagem mental: os termos são
e
, típicos de raiz dupla
na equação de Euler).
Passo 6
Procurar uma solução particular
da equação não homogênea
O lado direito é um polinômio de grau
em
. Para operadores com coeficientes constantes, uma tentativa natural é um polinômio do mesmo grau. Como
não é solução da homogênea (a homogênea tem termos
e
), não há ressonância com polinômios puros, portanto tentamos
com
constantes a determinar. Calculamos as derivadas:
Aplicando o operador
em
:
Igualando ao lado direito
obtemos a identidade polinomial
Comparando coeficientes:
Logo
Passo 7
Escrever a solução geral para
e voltar para
. A solução geral em
é
Voltando à variável
usando
e
, obtemos
onde
e
são constantes arbitrárias (que reescrevemos habitualmente como
se preferir).
Passo 8
Verificação rápida (checagem): derivando
e substituindo na equação original os termos se cancelam cuidadosamente e o lado esquerdo resulta em
. Essa verificação confirma que a solução encontrada é correta.