Resolva as seguintes equações diferenciais:
x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-x \frac{d y}{d x}+y=\ln x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
x^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-x\frac{dy}{dx}+y=\ln x,
e pede a solução geral y(x). Observações e dados importantes que o enunciado fornece:
  • A equação é linear, não homogênea, de segunda ordem.
  • O termo do lado direito é \ln x, portanto a solução só faz sentido para x>0 (aqui vou assumir x>0).
  • Devemos encontrar a solução geral, que é a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática): as potências de x multiplicando as derivadas sugerem uma equação do tipo Euler–Cauchy. Um método padrão e bem prático é fazer a mudança de variável
t=\ln x,
e definir
u(t)=y(x)\quad\text{com}\quad x=e^{t}.
Essa mudança transforma a equação com coeficientes que são potências de x numa equação com coeficientes constantes em t. Antes de aplicar, explico por que isso funciona: quando escrevemos derivadas em relação a x usando t, as potências de x se compensam com fatores vindos de dt/dx=1/x, simplificando os coeficientes.

Passo 3

Calcular y' e y'' em termos de u. Usando a regra da cadeia:
\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dt}\frac{dt}{dx}=\frac{u'(t)}{x},
onde u'(t)=du/dt. Agora derivamos novamente:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{u'}{x}\right).
Para derivar \frac{u'(t)}{x} em relação a x usamos a cadeia: d(u')/dx=(du'/dt)(dt/dx)=\dfrac{u''}{x}. Então
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{1}{x}\cdot\frac{u''}{x}-\frac{u'}{x^{2}}=\frac{u''-u'}{x^{2}}.
Resumo das fórmulas úteis que vamos usar:
\frac{dy}{dx}=\frac{u'}{x},\qquad \frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{u''-u'}{x^{2}}.

Passo 4

Substituir essas expressões na equação original. Temos
x^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-x\frac{dy}{dx}+y = x^{2}\cdot\frac{u''-u'}{x^{2}} - x\cdot\frac{u'}{x} + u = u''-u' - u' + u = u''-2u'+u.
O lado direito \ln x em termos de t é simplesmente t. Assim a equação transformada é a equação linear com coeficientes constantes
u''-2u'+u = t,
onde agora as derivadas são em relação a t.

Passo 5

Resolver a equação homogênea associada em t:
u''-2u'+u=0.
Formamos a equação característica \lambda^{2}-2\lambda+1=0, que é
(\lambda-1)^{2}=0,
ou seja, raiz \lambda=1 de multiplicidade 2. Para uma raiz dupla a solução geral homogênea é
u_{h}(t)=A e^{t} + B t e^{t},
onde A e B são constantes arbitrárias. Observação de correspondência com x: como e^{t}=x e t=\ln x, isso corresponde a
y_{h}(x)=A x + B x\ln x,
que é a solução homogênea da equação original (boa checagem mental: os termos são x e x\ln x, típicos de raiz dupla r=1 na equação de Euler).

Passo 6

Procurar uma solução particular u_{p}(t) da equação não homogênea
u''-2u'+u = t.
O lado direito é um polinômio de grau 1 em t. Para operadores com coeficientes constantes, uma tentativa natural é um polinômio do mesmo grau. Como t não é solução da homogênea (a homogênea tem termos e^{t} e t e^{t}), não há ressonância com polinômios puros, portanto tentamos
u_{p}(t)=a t + b,
com a,b constantes a determinar. Calculamos as derivadas:
u_{p}'(t)=a,\qquad u_{p}''(t)=0.
Aplicando o operador L(u)=u''-2u'+u em u_{p}:
L(u_{p})=0 -2a + (a t + b) = a t + (b-2a).
Igualando ao lado direito t obtemos a identidade polinomial
a t + (b-2a) = t.
Comparando coeficientes:
a=1,\qquad b-2a=0 \implies b=2.
Logo
u_{p}(t)=t+2.

Passo 7

Escrever a solução geral para u e voltar para y(x). A solução geral em t é
u(t)=u_{h}(t)+u_{p}(t)=A e^{t}+B t e^{t}+t+2.
Voltando à variável x usando t=\ln x e e^{t}=x, obtemos
y(x)=A x + B x\ln x + \ln x + 2,
onde A e B são constantes arbitrárias (que reescrevemos habitualmente como C_{1},C_{2} se preferir).

Passo 8

Verificação rápida (checagem): derivando y e substituindo na equação original os termos se cancelam cuidadosamente e o lado esquerdo resulta em \ln x. Essa verificação confirma que a solução encontrada é correta.

Resposta

y(x)=C_{1}x + C_{2}x\ln x + \ln x + 2

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