Resolva as seguintes equações diferenciais:
(2 x+1)^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2(2 x+1) \frac{d y}{d x}-12 y=6 x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea
(2x+1)^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-2(2x+1)\frac{dy}{dx}-12y=6x.
O que se pede: encontrar a solução geral y(x) dessa equação. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Coeficientes dependem de x através do fator 2x+1.
  • O termo não-homogêneo é 6x (polinomial de grau 1 em x).
  • A equação tem a estrutura que sugere uma mudança de variável para eliminar esse coeficiente comum (2x+1).

Passo 2

Para simplificar os coeficientes, fazemos a mudança de variável
t=2x+1.
Agora explico como transformar as derivadas usando a regra da cadeia. Se y é vista como função de t, então
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}.
Como \dfrac{dt}{dx}=2, segue que
\frac{dy}{dx}=2\frac{dy}{dt}.
Para a segunda derivada, aplicamos a derivada de \dfrac{dy}{dx}:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{d}{dx}\!\left(2\frac{dy}{dt}\right)=2\frac{d}{dx}\!\left(\frac{dy}{dt}\right).
Usando a cadeia novamente, \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{dy}{dt}\right)=\dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}\dfrac{dt}{dx}=2\frac{d^{2}y}{dt^{2}}. Portanto
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=2\cdot 2\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=4\frac{d^{2}y}{dt^{2}}.

Passo 3

Substituímos essas expressões na equação original. Usando t=2x+1, obtemos
t^{2}\left(4\frac{d^{2}y}{dt^{2}}\right)-2t\left(2\frac{dy}{dt}\right)-12y=6x.
Simplificando os fatores:
4t^{2}\frac{d^{2}y}{dt^{2}}-4t\frac{dy}{dt}-12y=6x.
Dividindo toda a equação por 4 para ficar mais simples:
t^{2}\frac{d^{2}y}{dt^{2}}-t\frac{dy}{dt}-3y=\frac{6x}{4}=\frac{3x}{2}.
Como x em função de t é x=\dfrac{t-1}{2}, substituímos no lado direito:
\frac{3x}{2}=\frac{3}{2}\cdot\frac{t-1}{2}=\frac{3}{4}(t-1).
Logo a equação em t fica
t^{2}\frac{d^{2}y}{dt^{2}}-t\frac{dy}{dt}-3y=\frac{3}{4}(t-1).
Esta é uma equação de Euler-Cauchy no lado esquerdo (coeficientes proporcionais a potências de t) com um termo não-homogêneo polinomial em t.

Passo 4

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
t^{2}\frac{d^{2}y}{dt^{2}}-t\frac{dy}{dt}-3y=0.
Para equações de Euler-Cauchy testa-se y=t^{r}. Substituindo:
t^{2}\cdot r(r-1)t^{r-2}-t\cdot r t^{r-1}-3t^{r}=0,
que simplifica para o polinômio característico
r(r-1)-r-3=0.
Calculando:
r^{2}-r-r-3=r^{2}-2r-3=0.
Resolvendo a quadrática:
r=\frac{2\pm\sqrt{4+12}}{2}=\frac{2\pm4}{2},
portanto r=3 ou r=-1. Assim a solução geral da homogênea é
y_{h}(t)=C_{1}t^{3}+C_{2}t^{-1},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora buscamos uma solução particular y_{p}(t) da equação não-homogênea
t^{2}y_{p}''-ty_{p}'-3y_{p}=\frac{3}{4}(t-1).
O lado direito é um polinômio de grau 1 em t. Como as soluções fundamentais do homogêneo são t^{3} e t^{-1}, nenhuma é um polinômio de grau 1; portanto tentamos um polinômio de grau 1:
y_{p}(t)=A t + B,
com constantes A,B a determinar. Calculamos as derivadas:
y_{p}'(t)=A,\qquad y_{p}''(t)=0.
Substituindo na equação esquerda:
t^{2}\cdot 0 - t\cdot A -3(At+B) = -A t -3A t -3B = -4A t -3B.
Isso deve ser igual a \dfrac{3}{4}t - \dfrac{3}{4}. Igualando coeficientes de t e termo constante:
-4A=\frac{3}{4},\qquad -3B=-\frac{3}{4}.
Resolvendo:
A=-\frac{3}{16},\qquad B=\frac{1}{4}.
Portanto
y_{p}(t)=-\frac{3}{16}t+\frac{1}{4}.

Passo 6

A solução geral em t é a soma y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t):
y(t)=C_{1}t^{3}+C_{2}t^{-1}-\frac{3}{16}t+\frac{1}{4}.
Voltando à variável x com t=2x+1, obtemos
y(x)=C_{1}(2x+1)^{3}+C_{2}(2x+1)^{-1}-\frac{3}{16}(2x+1)+\frac{1}{4}.
Podemos simplificar o termo linear/constante:
-\frac{3}{16}(2x+1)+\frac{1}{4}=-\frac{3}{8}x+\left(-\frac{3}{16}+\frac{1}{4}\right)=-\frac{3}{8}x+\frac{1}{16}.
Assim a solução geral final é
y(x)=C_{1}(2x+1)^{3}+C_{2}\frac{1}{2x+1}-\frac{3}{8}x+\frac{1}{16},
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}(2x+1)^{3}+C_{2}(2x+1)^{-1}-\dfrac{3}{8}x+\dfrac{1}{16}

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