Resolva as seguintes equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea
O que se pede: encontrar a solução geral
dessa equação. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Coeficientes dependem de
através do fator . - O termo não-homogêneo é
(polinomial de grau em ). - A equação tem a estrutura que sugere uma mudança de variável para eliminar esse coeficiente comum
.
Passo 2
Para simplificar os coeficientes, fazemos a mudança de variável
Agora explico como transformar as derivadas usando a regra da cadeia. Se
é vista como função de
, então
Como
, segue que
Para a segunda derivada, aplicamos a derivada de
:
Usando a cadeia novamente,
. Portanto
Passo 3
Substituímos essas expressões na equação original. Usando
, obtemos
Simplificando os fatores:
Dividindo toda a equação por
para ficar mais simples:
Como
em função de
é
, substituímos no lado direito:
Logo a equação em
fica
Esta é uma equação de Euler-Cauchy no lado esquerdo (coeficientes proporcionais a potências de
) com um termo não-homogêneo polinomial em
.
Passo 4
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
Para equações de Euler-Cauchy testa-se
. Substituindo:
que simplifica para o polinômio característico
Calculando:
Resolvendo a quadrática:
portanto
ou
. Assim a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora buscamos uma solução particular
da equação não-homogênea
O lado direito é um polinômio de grau
em
. Como as soluções fundamentais do homogêneo são
e
, nenhuma é um polinômio de grau
; portanto tentamos um polinômio de grau
:
com constantes
a determinar. Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação esquerda:
Isso deve ser igual a
. Igualando coeficientes de
e termo constante:
Resolvendo:
Portanto
Passo 6
A solução geral em
é a soma
:
Voltando à variável
com
, obtemos
Podemos simplificar o termo linear/constante:
Assim a solução geral final é
com
constantes arbitrárias.