Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas de
ordem. Resolva o PVI se as condições iniciais forem dadas.
e
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem e condições iniciais:
- Equação:
- Condições iniciais:
e
O que se pede:
- Resolver a equação diferencial homogênea de segunda ordem e, como há condições iniciais, determinar a solução particular que satisfaz essas condições (problema de valor inicial).
Passo 2
Ideia e ferramenta que vamos usar (explicação didática e passo a passo).
Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes do tipo
Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes do tipo
procura-se uma solução da forma
, porque a derivada de uma exponencial é proporcional à própria exponencial, o que transforma a EDO em uma equação algébrica para
. Substituindo
obtemos a chamada equação característica:
As raízes dessa equação determinam a forma da solução geral:
- Se as raízes
e são reais e distintas então
- (Outros casos: raízes complexas ou repetidas têm formas diferentes, mas não precisamos aqui.)
No nosso caso a equação é
. Comparando com a forma padrão, temos
e
. Vamos montar e resolver a equação característica.
Passo 3
Escrevendo a equação característica para a nossa EDO:
Resolver essa equação é simples: é uma diferença de quadrados.
portanto as raízes são
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é
onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 4
Calcular a derivada
necessária para aplicar a condição inicial em
.
Derivando termo a termo:
Derivando termo a termo:
Passo 5
Aplicar as condições iniciais em
.
Primeiro, :
Primeiro,
Segundo,
:
Podemos simplificar a segunda equação dividindo por
:
Agora temos o sistema linear para
e
:
Passo 6
Resolver o sistema para encontrar
e
.
Somando as duas equações:
Somando as duas equações:
Substituindo em
:
Portanto
Passo 7
Escrever a solução particular que satisfaz as condições iniciais substituindo
e
na solução geral:
Checagem rápida (opcional, mas boa prática): em
obtemos
e
então
, que coincide com a condição dada.
Passo 8
Comentário didático curto e confiança: outra forma equivalente de escrever a solução é usando funções hiperbólicas:
mas a forma exponencial
é direta e já resolve o PVI. Força aí — essa técnica de raiz característica é a mais prática em provas para EDOs com coeficientes constantes!