Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas de 2^{\circ} ordem. Resolva o PVI se as condições iniciais forem dadas.
y^{\prime \prime}-16 y=0, y^{\prime}(0)=8 e y(0)=3

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem e condições iniciais:
  • Equação: y''-16y=0.
  • Condições iniciais: y(0)=3 e y'(0)=8.
O que se pede:
  • Resolver a equação diferencial homogênea de segunda ordem e, como há condições iniciais, determinar a solução particular que satisfaz essas condições (problema de valor inicial).

Passo 2

Ideia e ferramenta que vamos usar (explicação didática e passo a passo).
Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes do tipo
y''+a y'+b y=0,
procura-se uma solução da forma \;y=e^{r x}\;, porque a derivada de uma exponencial é proporcional à própria exponencial, o que transforma a EDO em uma equação algébrica para r. Substituindo y=e^{r x} obtemos a chamada equação característica:
r^{2}+a r + b = 0.
As raízes dessa equação determinam a forma da solução geral:
  • Se as raízes r_1 e r_2 são reais e distintas então
y(x)=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}.
  • (Outros casos: raízes complexas ou repetidas têm formas diferentes, mas não precisamos aqui.)
No nosso caso a equação é \;y''-16y=0\;. Comparando com a forma padrão, temos a=0 e b=-16. Vamos montar e resolver a equação característica.

Passo 3

Escrevendo a equação característica para a nossa EDO:
r^{2}-16=0.
Resolver essa equação é simples: é uma diferença de quadrados.
r^{2}-16=(r-4)(r+4)=0,
portanto as raízes são
r_{1}=4,\qquad r_{2}=-4.
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(x)=C_{1}e^{4x}+C_{2}e^{-4x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 4

Calcular a derivada y'(x) necessária para aplicar a condição inicial em y'.
Derivando termo a termo:
y'(x)=4C_{1}e^{4x}-4C_{2}e^{-4x}.

Passo 5

Aplicar as condições iniciais em x=0.
Primeiro, y(0)=3:
y(0)=C_{1}+C_{2}=3.
Segundo, y'(0)=8:
y'(0)=4C_{1}-4C_{2}=8.
Podemos simplificar a segunda equação dividindo por 4:
C_{1}-C_{2}=2.
Agora temos o sistema linear para C_{1} e C_{2}:
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=3,\\[4pt] C_{1}-C_{2}=2. \end{cases}]

Passo 6

Resolver o sistema para encontrar C_{1} e C_{2}.
Somando as duas equações:
2C_{1}=5 \quad\Rightarrow\quad C_{1}=\tfrac{5}{2}.
Substituindo em C_{1}+C_{2}=3:
\tfrac{5}{2}+C_{2}=3 \quad\Rightarrow\quad C_{2}=3-\tfrac{5}{2}=\tfrac{1}{2}.
Portanto
C_{1}=\tfrac{5}{2},\qquad C_{2}=\tfrac{1}{2}.

Passo 7

Escrever a solução particular que satisfaz as condições iniciais substituindo C_{1} e C_{2} na solução geral:
y(x)=\tfrac{5}{2}e^{4x}+\tfrac{1}{2}e^{-4x}.
Checagem rápida (opcional, mas boa prática): em x=0 obtemos y(0)=\tfrac{5}{2}+\tfrac{1}{2}=3 e
y'(x)=4\cdot\tfrac{5}{2}e^{4x}-4\cdot\tfrac{1}{2}e^{-4x}=\tfrac{20}{2}e^{4x}-\tfrac{4}{2}e^{-4x}=10e^{4x}-2e^{-4x},
então y'(0)=10-2=8, que coincide com a condição dada.

Passo 8

Comentário didático curto e confiança: outra forma equivalente de escrever a solução é usando funções hiperbólicas:
y(x)=3\operatorname{cosh}(4x)+\tfrac{1}{2}\operatorname{sinh}(4x),
mas a forma exponencial \tfrac{5}{2}e^{4x}+\tfrac{1}{2}e^{-4x} é direta e já resolve o PVI. Força aí — essa técnica de raiz característica é a mais prática em provas para EDOs com coeficientes constantes!

Resposta

y(x)=\tfrac{5}{2}e^{4x}+\tfrac{1}{2}e^{-4x}

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