Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas de
ordem.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede encontrar a solução geral
. Informações relevantes que temos:
- É uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes.
- A equação pode ser vista como uma equação linear não-homogênea (há o termo constante
). - O objetivo é obter a solução geral, ou seja, a soma da solução homogênea e de uma solução particular.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (ou seja, zerando o termo não-homogêneo). A equação homogênea é
Explicando a técnica: para equações lineares de coeficientes constantes, tenta-se uma solução da forma
. Substituindo na equação homogênea surge o polinômio característico:
Resolvendo esse polinômio obtemos as raízes
Essas raízes distintas e reais indicam que a solução geral da homogênea é uma combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes arbitrárias que serão fixadas por condições iniciais (se dadas).
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
da equação completa. Explicando o método: o termo não-homogêneo é uma constante (
), então uma tentativa natural pelo método dos coeficientes a determinar é assumir
constante, digamos
, porque derivadas de constantes são simples e isso costuma funcionar quando o termo não-homogêneo é polinomial/constante e não coincide com soluções da homogênea.
Se
então
. Substituindo na equação original:
Resolvendo para
:
Convém escrever
como fração:
. Assim
Portanto uma solução particular é
Passo 4
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução homogênea com a particular:
com
constantes arbitrárias.
Passo 5
Verificação rápida (sempre bom confirmar na prova): calculam-se
e
e substitui-se na equação original para ver se dá zero.
Substituindo:
Os termos com
e
se cancelam, e resta
logo a solução encontrada está correta.