Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas de 2^{\circ} ordem.
y^{\prime \prime}-4 y+1.5=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y''-4y+1,5=0
e pede encontrar a solução geral y(x). Informações relevantes que temos:
  • É uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • A equação pode ser vista como uma equação linear não-homogênea (há o termo constante 1,5).
  • O objetivo é obter a solução geral, ou seja, a soma da solução homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (ou seja, zerando o termo não-homogêneo). A equação homogênea é
y''-4y=0.
Explicando a técnica: para equações lineares de coeficientes constantes, tenta-se uma solução da forma y=e^{rx}. Substituindo na equação homogênea surge o polinômio característico:
r^2-4=0.
Resolvendo esse polinômio obtemos as raízes
r=\pm 2.
Essas raízes distintas e reais indicam que a solução geral da homogênea é uma combinação linear das exponenciais correspondentes:
y_h(x)=C_1 e^{2x}+C_2 e^{-2x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias que serão fixadas por condições iniciais (se dadas).

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p(x) da equação completa. Explicando o método: o termo não-homogêneo é uma constante ( 1,5), então uma tentativa natural pelo método dos coeficientes a determinar é assumir y_p constante, digamos y_p(x)=A, porque derivadas de constantes são simples e isso costuma funcionar quando o termo não-homogêneo é polinomial/constante e não coincide com soluções da homogênea.
Se y_p=A então y_p''=0. Substituindo na equação original:
0-4A+1,5=0.
Resolvendo para A:
-4A+1,5=0\quad\Rightarrow\quad 4A=1,5.
Convém escrever 1,5 como fração: 1,5=\tfrac{3}{2}. Assim
A=\dfrac{1,5}{4}=\dfrac{\tfrac{3}{2}}{4}=\dfrac{3}{8}.
Portanto uma solução particular é
y_p(x)=\tfrac{3}{8}.

Passo 4

A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução homogênea com a particular:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1 e^{2x}+C_2 e^{-2x}+\tfrac{3}{8},
com C_1,C_2\in\mathbb{R} constantes arbitrárias.

Passo 5

Verificação rápida (sempre bom confirmar na prova): calculam-se y' e y'' e substitui-se na equação original para ver se dá zero.
y'(x)=2C_1 e^{2x}-2C_2 e^{-2x},
y''(x)=4C_1 e^{2x}+4C_2 e^{-2x}.
Substituindo:
y''-4y+1,5 = \bigl(4C_1 e^{2x}+4C_2 e^{-2x}\bigr)-4\bigl(C_1 e^{2x}+C_2 e^{-2x}+\tfrac{3}{8}\bigr)+1,5.
Os termos com e^{2x} e e^{-2x} se cancelam, e resta
-4\cdot\tfrac{3}{8}+1,5 = -\tfrac{12}{8}+1,5 = -\tfrac{3}{2}+1,5 =0,
logo a solução encontrada está correta.

Resposta

y(x)=C_1 e^{2x}+C_2 e^{-2x}+\dfrac{3}{8}

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