Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas de
ordem. Resolva o PVI se as condições iniciais forem dadas.
Resolva as equações diferenciais:
Resolva as equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede que se encontre a solução geral. Não foram dadas condições iniciais, portanto vamos obter a solução geral com constantes arbitrárias. Vou listar claramente o que temos:
- Equação dada:
. - Pedido: achar a família de soluções
que satisfazem essa equação. - Condições iniciais: nenhuma fornecida (mas mostrarei como usá-las caso sejam dadas).
Passo 2
Ideia padrão (motivo didático): testar uma solução do tipo exponencial porque a derivada de uma exponencial é proporcional à própria exponencial, o que facilita transformar a equação diferencial em uma equação algébrica para o expoente.
Assumimos uma solução da forma
onde
é um número (possivelmente complexo) que vamos determinar. Agora calculemos as derivadas e substituamos na equação.
Passo 3
Derivadas da suposição:
Substituindo em
obtemos
Como
nunca é zero, podemos dividir por
e ficar com a equação característica
Passo 4
Resolver a equação característica:
logo as raízes são
Como as duas raízes são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial linear homogênea é a combinação linear das duas exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes reais arbitrárias. Essa forma é a solução geral porque as funções
e
são linearmente independentes e qualquer combinação linear delas satisfaz a equação (verificação abaixo).
Passo 5
Verificação rápida: calcule
para
.
Então
confirmando que essa
realmente satisfaz a equação diferencial.
Passo 6
Como bônus útil para a prova: se fossem dadas condições iniciais
Dividindo a segunda equação por (5] e somando/combinando, obtém-se
Assim a solução com essas condições iniciais seria
]
Assim a solução com essas condições iniciais seria