Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas de 2^{\circ} ordem. Resolva o PVI se as condições iniciais forem dadas.
Resolva as equações diferenciais:
y^{\prime \prime}-25 y=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
y'' - 25y = 0,
e pede que se encontre a solução geral. Não foram dadas condições iniciais, portanto vamos obter a solução geral com constantes arbitrárias. Vou listar claramente o que temos:
  • Equação dada: \;y''-25y=0.
  • Pedido: achar a família de soluções y(x) que satisfazem essa equação.
  • Condições iniciais: nenhuma fornecida (mas mostrarei como usá-las caso sejam dadas).

Passo 2

Ideia padrão (motivo didático): testar uma solução do tipo exponencial porque a derivada de uma exponencial é proporcional à própria exponencial, o que facilita transformar a equação diferencial em uma equação algébrica para o expoente.
Assumimos uma solução da forma
y(x)=e^{r x},
onde r é um número (possivelmente complexo) que vamos determinar. Agora calculemos as derivadas e substituamos na equação.

Passo 3

Derivadas da suposição:
y'(x)=r e^{r x},\qquad y''(x)=r^2 e^{r x}.
Substituindo em \;y''-25y=0 obtemos
r^2 e^{r x} - 25 e^{r x} = 0.
Como e^{r x} nunca é zero, podemos dividir por e^{r x} e ficar com a equação característica
r^2 - 25 = 0.

Passo 4

Resolver a equação característica:
r^2 - 25 = (r-5)(r+5)=0,
logo as raízes são
r_1 = 5,\qquad r_2 = -5.
Como as duas raízes são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial linear homogênea é a combinação linear das duas exponenciais correspondentes:
y(x)=C_1 e^{5x} + C_2 e^{-5x},
onde C_1 e C_2 são constantes reais arbitrárias. Essa forma é a solução geral porque as funções e^{5x} e e^{-5x} são linearmente independentes e qualquer combinação linear delas satisfaz a equação (verificação abaixo).

Passo 5

Verificação rápida: calcule y''-25y para y(x)=C_1 e^{5x}+C_2 e^{-5x}.
y' = 5C_1 e^{5x} - 5C_2 e^{-5x}, \qquad y'' = 25C_1 e^{5x} + 25C_2 e^{-5x}.
Então
y''-25y = (25C_1 e^{5x} + 25C_2 e^{-5x}) -25(C_1 e^{5x}+C_2 e^{-5x}) = 0,
confirmando que essa y(x) realmente satisfaz a equação diferencial.

Passo 6

Como bônus útil para a prova: se fossem dadas condições iniciais \;y(0)=y_0\) e \(\;y'(0)=y_1\), calcula-se \(C_1\) e \(C_2\) resolvendo o sistema \[\begin{cases} C_1 + C_2 = y_0,\\[4pt] 5C_1 - 5C_2 = y_1. \end{cases}
Dividindo a segunda equação por (5] e somando/combinando, obtém-se
C_1 = \frac{5y_0 + y_1}{10},\qquad C_2 = \frac{5y_0 - y_1}{10}.
Assim a solução com essas condições iniciais seria
y(x)=\frac{5y_0 + y_1}{10}\,e^{5x} + \frac{5y_0 - y_1}{10}\,e^{-5x}.]

Resposta

y(x)=C_1 e^{5x} + C_2 e^{-5x}

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