Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas de
ordem. Resolva o PVI se as condições iniciais forem dadas.
Resolva as equações diferenciais:
Resolva as equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede resolver (obter a solução geral). Não foram fornecidas condições iniciais, portanto vamos encontrar a solução geral com constantes arbitrárias. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação contém a segunda derivada
, o termo e uma constante . - Não há condições iniciais; então a resposta deve conter duas constantes arbitrárias.
Passo 2
Estratégia de resolução (explicação didática e passo a passo):
- Por linearidade, a solução geral de uma EDO linear de 2.º ordem não-homogênea é a soma da solução geral da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação completa.
- Primeiro encontraremos a solução da equação homogênea associada (ou seja, com o termo constante removido).
- Depois procuraremos uma solução particular para a parte não-homogênea (o termo constante
). Vou usar o método dos coeficientes a determinar (tentar uma função de forma simples compatível com a parte direita).
Passo 3
Resolver a equação homogênea associada:
Assumimos
. Substituindo na equação homogênea obtemos a equação característica
Resolvendo:
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Procurar uma solução particular
da equação completa
A parte não-homogênea é uma constante
. Pelo método dos coeficientes a determinar, tentamos uma solução particular constante:
com
constante. Então
. Substituindo na equação:
Isolando
:
Escrevendo
e dividindo por
:
Portanto
Passo 5
Combinar as soluções homogênea e particular para obter a solução geral:
com
constantes arbitrárias.
Passo 6
Verificação rápida (substituição para checar): calcular
de
:
Substituindo em
:
Os termos exponenciais cancelam, sobrando
logo a solução está correta.
Passo 7
Como aplicar condições iniciais (caso surgissem na prova): se forem dadas
e
, procede-se assim:
Resolver o sistema para
:
Somando e subtraindo:
Essas expressões permitem obter
e
quando as condições iniciais são fornecidas.