Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas de 2^{\circ} ordem. Resolva o PVI se as condições iniciais forem dadas.
Resolva as equações diferenciais:
y^{\prime \prime}-4 y+1.5=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'' - 4y + 1{,}5 = 0
e pede resolver (obter a solução geral). Não foram fornecidas condições iniciais, portanto vamos encontrar a solução geral com constantes arbitrárias. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação contém a segunda derivada y'', o termo -4y e uma constante +1{,}5.
  • Não há condições iniciais; então a resposta deve conter duas constantes arbitrárias.

Passo 2

Estratégia de resolução (explicação didática e passo a passo):
  • Por linearidade, a solução geral de uma EDO linear de 2.º ordem não-homogênea é a soma da solução geral da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação completa.
  • Primeiro encontraremos a solução da equação homogênea associada (ou seja, com o termo constante removido).
  • Depois procuraremos uma solução particular para a parte não-homogênea (o termo constante 1{,}5). Vou usar o método dos coeficientes a determinar (tentar uma função de forma simples compatível com a parte direita).

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada:
y'' - 4y = 0.
Assumimos y_h = e^{rx}. Substituindo na equação homogênea obtemos a equação característica
r^2 - 4 = 0.
Resolvendo:
r^2 = 4 \quad\Rightarrow\quad r = 2 \quad\text{ou}\quad r = -2.
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
y_h(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 4

Procurar uma solução particular y_p da equação completa
y'' - 4y + 1{,}5 = 0.
A parte não-homogênea é uma constante 1{,}5. Pelo método dos coeficientes a determinar, tentamos uma solução particular constante:
y_p(x) = A,
com A constante. Então y_p''=0. Substituindo na equação:
0 - 4A + 1{,}5 = 0.
Isolando A:
-4A + 1{,}5 = 0 \quad\Rightarrow\quad 4A = 1{,}5.
Escrevendo 1{,}5=\dfrac{3}{2} e dividindo por 4:
A = \dfrac{1{,}5}{4} = \dfrac{3/2}{4} = \dfrac{3}{8}.
Portanto
y_p(x) = \dfrac{3}{8}.

Passo 5

Combinar as soluções homogênea e particular para obter a solução geral:
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} + \dfrac{3}{8},
com C_1,C_2\in\mathbb{R} constantes arbitrárias.

Passo 6

Verificação rápida (substituição para checar): calcular y'' de y(x):
y'(x)=2C_1 e^{2x}-2C_2 e^{-2x},\qquad y''(x)=4C_1 e^{2x}+4C_2 e^{-2x}.
Substituindo em y''-4y+1{,}5:
(4C_1 e^{2x}+4C_2 e^{-2x})-4\bigl(C_1 e^{2x}+C_2 e^{-2x}+\tfrac{3}{8}\bigr)+1{,}5.
Os termos exponenciais cancelam, sobrando
-4\cdot\tfrac{3}{8}+1{,}5 = -\tfrac{3}{2}+1{,}5 = 0,
logo a solução está correta.

Passo 7

Como aplicar condições iniciais (caso surgissem na prova): se forem dadas y(0)=y_0 e y'(0)=y_1, procede-se assim:
y(0)=C_1+C_2+\tfrac{3}{8}=y_0, \qquad y'(0)=2C_1-2C_2=y_1.
Resolver o sistema para C_1,C_2:
C_1+C_2 = y_0 - \tfrac{3}{8}, \qquad C_1 - C_2 = \tfrac{y_1}{2}.
Somando e subtraindo:
C_1 = \tfrac{1}{2}\Bigl(y_0 - \tfrac{3}{8}\Bigr) + \tfrac{y_1}{4}, \qquad C_2 = \tfrac{1}{2}\Bigl(y_0 - \tfrac{3}{8}\Bigr) - \tfrac{y_1}{4}.
Essas expressões permitem obter C_1 e C_2 quando as condições iniciais são fornecidas.

Resposta

y(x)=C_1 e^{2x}+C_2 e^{-2x}+\dfrac{3}{8}

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