Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas de \mathbf{1}^{\circ} ordem
Determine a solução geral da equação diferencial:
\frac{y^{\prime}}{x}=\cos (x) e^{-y}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dada a equação diferencial: \dfrac{y'}{x}=\cos(x)\,e^{-y}.
  • Aqui y'= \dfrac{dy}{dx} é a derivada de y em relação a x.
  • O que se pede: determinar a solução geral y(x) da equação (ou seja, a família de soluções com constante arbitrária).

Passo 2

Rewrite da equação para deixar explícito o diferencial e preparar uma separação de variáveis.
A equação é
\frac{y'}{x}=\cos(x)\,e^{-y}.
Multiplicando ambos os lados por x obtemos
y' = x\cos(x)\,e^{-y}.
Escrevendo y'=\dfrac{dy}{dx} fica
\frac{dy}{dx} = x\cos(x)\,e^{-y}.

Passo 3

Separação de variáveis: colocar todos os termos com y de um lado e com x do outro.
Multiplicando ambos os lados por e^{y} e por dx,
e^{y}\,dy = x\cos(x)\,dx.
Agora a integral de cada lado depende de uma única variável, então podemos integrar ambos os lados.

Passo 4

Integrar os dois lados. Explico cada integral:
  • A integral do lado esquerdo é simples: \displaystyle \int e^{y}\,dy = e^{y} + C_1. Aqui C_1 é uma constante de integração.
  • A integral do lado direito é \displaystyle \int x\cos(x)\,dx. Para calcular esta integral uso o método de integração por partes. Lembrete rápido da fórmula de integração por partes: para funções u(x) e v(x),
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Escolho u=x (então du=dx) e dv=\cos(x)\,dx (então v=\sin(x)). Aplicando:
\int x\cos(x)\,dx = x\sin(x) - \int \sin(x)\,dx = x\sin(x) + \cos(x) + C_2,
porque \int \sin(x)\,dx = -\cos(x) e C_2 é outra constante de integração.

Passo 5

Juntando as integrais (absorvendo constantes):
A igualdade das integrais dá
e^{y} = x\sin(x) + \cos(x) + C,
onde C é uma constante arbitrária (obtida combinando C_1 e C_2).
Agora isolamos y: aplicando o logaritmo natural em ambos os lados,
y = \ln\bigl(x\sin(x) + \cos(x) + C\bigr).
Observação sobre domínio: para y real precisamos que o argumento do logaritmo seja positivo:
x\sin(x) + \cos(x) + C > 0.
Isso restringe o conjunto de x para cada valor de C. Em contexto de solução geral, C\in\mathbb{R} é constante arbitrária e a condição acima define o domínio onde a solução é válida.

Passo 6

Verificação rápida (boa prática para prova): derivar a solução e substituir na equação original para checar.
Se \displaystyle y=\ln\bigl(x\sin(x)+\cos(x)+C\bigr), então a derivada do interior é
\frac{d}{dx}\bigl(x\sin(x)+\cos(x)+C\bigr) = x\cos(x)
pois \dfrac{d}{dx}(x\sin x)=\sin x + x\cos x e \dfrac{d}{dx}\cos x = -\sin x, os \sin x se cancelam. Portanto
\frac{dy}{dx} = \frac{x\cos(x)}{x\sin(x)+\cos(x)+C}.
Dividindo por x e usando e^{-y}=\dfrac{1}{x\sin(x)+\cos(x)+C} obtemos exatamente
\frac{y'}{x}=\cos(x)\,e^{-y},
confirmando a solução.

Resposta

y(x)=\ln\bigl(x\sin(x)+\cos(x)+C\bigr), com C\in\mathbb{R} e domínio tal que x\sin(x)+\cos(x)+C>0.

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