Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas de
ordem
Determine a solução geral da equação diferencial:
Determine a solução geral da equação diferencial:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dada a equação diferencial:
. - Aqui
é a derivada de em relação a . - O que se pede: determinar a solução geral
da equação (ou seja, a família de soluções com constante arbitrária).
Passo 2
Rewrite da equação para deixar explícito o diferencial e preparar uma separação de variáveis.
A equação é
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Escrevendo
fica
Passo 3
Separação de variáveis: colocar todos os termos com
de um lado e com
do outro.
Multiplicando ambos os lados por
e por
,
Agora a integral de cada lado depende de uma única variável, então podemos integrar ambos os lados.
Passo 4
Integrar os dois lados. Explico cada integral:
-
A integral do lado esquerdo é simples:
. Aqui é uma constante de integração. -
A integral do lado direito é
. Para calcular esta integral uso o método de integração por partes. Lembrete rápido da fórmula de integração por partes: para funções e ,
Escolho
(então
) e
(então
). Aplicando:
porque
e
é outra constante de integração.
Passo 5
Juntando as integrais (absorvendo constantes):
A igualdade das integrais dá
onde
é uma constante arbitrária (obtida combinando
e
).
Agora isolamos
: aplicando o logaritmo natural em ambos os lados,
Observação sobre domínio: para
real precisamos que o argumento do logaritmo seja positivo:
Isso restringe o conjunto de
para cada valor de
. Em contexto de solução geral,
é constante arbitrária e a condição acima define o domínio onde a solução é válida.
Passo 6
Verificação rápida (boa prática para prova): derivar a solução e substituir na equação original para checar.
Se
, então a derivada do interior é
pois
e
, os
se cancelam. Portanto
Dividindo por
e usando
obtemos exatamente
confirmando a solução.