Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas de \mathbf{1}^{\circ} ordem
Determine a solução geral da equação diferencial:
\frac{d y}{d x}=x y+x+y+1

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial de primeira ordem dada por
\frac{dy}{dx}=x y+x+y+1.
Informações fornecidas:
  • A incógnita é a função y dependente da variável x, ou seja y=y(x).
  • A equação relaciona a derivada \dfrac{dy}{dx} com x e y.
  • O objetivo é encontrar a expressão geral de y(x) que satisfaça a equação (solução geral, contendo constante(s) arbitrária(s)).

Passo 2

Primeiro passo algébrico útil: fatorar o lado direito para ver se aparece alguma estrutura conhecida. Observe que
x y+x+y+1 = (x+1)(y+1),
porque (x+1)(y+1)=xy+x+y+1. Portanto a equação fica
\frac{dy}{dx}=(x+1)(y+1).

Passo 3

Identificar o método apropriado: como o lado direito é produto de uma função só de x por uma função só de y, a equação é separável. A ideia de equações separáveis é escrever todos os termos com y multiplicando dy de um lado e todos os termos com x multiplicando dx do outro, e então integrar.
Para isso, a equação escrita como \dfrac{dy}{dx}=(x+1)(y+1) pode ser rearranjada (quando y+1\neq0) como
\frac{1}{y+1}\,dy=(x+1)\,dx.
Observação importante: se y+1=0 (isto é, y\equiv-1 constante) então temos uma solução constante especial. Vamos tratar isso explicitamente depois; agora seguimos integrando na região onde y+1\neq0.

Passo 4

Integrar ambos os lados. Explicando as integrais:
  • A integral de \dfrac{1}{y+1}\,dy é \ln|y+1|. Aqui \ln é o logaritmo natural e o valor absoluto aparece porque a antiderivada de 1/u é \ln|u|.
  • A integral de x+1 em relação a x é \dfrac{x^2}{2}+x.
Escrevendo as integrais:
\int \frac{1}{y+1}\,dy=\int (x+1)\,dx
resulta em
\ln|y+1|=\frac{x^2}{2}+x+C,
onde C é a constante de integração (número real arbitrário).

Passo 5

Isolar y. Exponenciando ambos os lados:
|y+1|=e^{\frac{x^2}{2}+x+C}=e^{C}\,e^{\frac{x^2}{2}+x}.
Denotando A=e^{C}>0, temos |y+1|=A e^{\frac{x^2}{2}+x}. Eliminando o módulo podemos escrever a solução geral em forma mais simples usando uma constante arbitrária K (que pode ser positiva, negativa ou zero):
y+1=K\,e^{\frac{x^2}{2}+x},
onde K\in\mathbb{R}. Assim
y(x)=K\,e^{\frac{x^2}{2}+x}-1.
Observe que a escolha K=0 produz a solução constante y\equiv-1 que mencionamos antes, então a expressão acima já inclui essa solução especial.
Aqui K é a constante arbitrária de integração que determina a solução particular dentro da família de soluções.

Passo 6

Verificação rápida (sempre bom na prova): calculemos a derivada de y(x)=K e^{\frac{x^2}{2}+x}-1:
\frac{dy}{dx}=K e^{\frac{x^2}{2}+x}\cdot\left(\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^2}{2}+x\right)\right) =K e^{\frac{x^2}{2}+x}\cdot(x+1).
Mas K e^{\frac{x^2}{2}+x}=y+1. Portanto
\frac{dy}{dx}=(x+1)(y+1),
que é exatamente a equação dada. Logo a família encontrada é correta.

Resposta

y(x)=K\,e^{\frac{x^{2}}{2}+x}-1,\quad K\in\mathbb{R}

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