Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas de
ordem
Determine a solução geral da equação diferencial:
Determine a solução geral da equação diferencial:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial de primeira ordem dada por
Informações fornecidas:
- A incógnita é a função
dependente da variável , ou seja . - A equação relaciona a derivada
com e . - O objetivo é encontrar a expressão geral de
que satisfaça a equação (solução geral, contendo constante(s) arbitrária(s)).
Passo 2
Primeiro passo algébrico útil: fatorar o lado direito para ver se aparece alguma estrutura conhecida. Observe que
porque
. Portanto a equação fica
Passo 3
Identificar o método apropriado: como o lado direito é produto de uma função só de
por uma função só de
, a equação é separável. A ideia de equações separáveis é escrever todos os termos com
multiplicando
de um lado e todos os termos com
multiplicando
do outro, e então integrar.
Para isso, a equação escrita como
pode ser rearranjada (quando
) como
Observação importante: se
(isto é,
constante) então temos uma solução constante especial. Vamos tratar isso explicitamente depois; agora seguimos integrando na região onde
.
Passo 4
Integrar ambos os lados. Explicando as integrais:
- A integral de
é . Aqui é o logaritmo natural e o valor absoluto aparece porque a antiderivada de é . - A integral de
em relação a é .
Escrevendo as integrais:
resulta em
onde
é a constante de integração (número real arbitrário).
Passo 5
Isolar
. Exponenciando ambos os lados:
Denotando
, temos
. Eliminando o módulo podemos escrever a solução geral em forma mais simples usando uma constante arbitrária
(que pode ser positiva, negativa ou zero):
onde
. Assim
Observe que a escolha
produz a solução constante
que mencionamos antes, então a expressão acima já inclui essa solução especial.
Aqui
é a constante arbitrária de integração que determina a solução particular dentro da família de soluções.
Passo 6
Verificação rápida (sempre bom na prova): calculemos a derivada de
:
Mas
. Portanto
que é exatamente a equação dada. Logo a família encontrada é correta.