Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas de coeficientes constantes.
a y^prime prime-(a^2+1) y^prime+a y=0

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem uma equação diferencial homogênea de coeficientes constantes:
a,y'' - (a^2 + 1),y' + a,y = 0
Isso faz parte de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), e a ideia é usar o método do polinômio característico.
O que vamos precisar:
  • Montar o polinômio característico trocando , e .
  • Resolver essa equação de segundo grau em .
  • Escrever a solução geral a partir das raízes e .

Passo 2

Primeiro, montamos o polinômio característico associado:
a,r^2 - (a^2 + 1),r + a = 0
Isso veio da substituição direta e elimina as derivadas, virando uma equação algébrica em .

Passo 3

Agora calculamos o discriminante De da equação :

Passo 4

Como r = (a^2+1)pm (a^2-1)2a , as raízes r1 = a^2+1 + a^2-12a = 2a^22a = a ficam:
r2 = a^2+1 - (a^2-1)2a = 22a = 1a
  • Para o “+”:
  • Para o “−”:

Passo 5

Quando as raízes são reais e distintas ( y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x = C1 e^a x + C2 e^tfrac1ax e ), a solução geral da EDO é:
Aqui e são constantes de integração que você ajusta conforme condições iniciais ou de contorno.

Resposta

boxedy(x) = C1 e^a x + C2 e^xa,
com e constantes.

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