Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas de coeficientes constantes.
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem uma equação diferencial homogênea de coeficientes constantes:
Isso faz parte de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), e a ideia é usar o método do polinômio característico.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Montar o polinômio característico trocando
, e . - Resolver essa equação de segundo grau em
. - Escrever a solução geral a partir das raízes
e .
Passo 2
Primeiro, montamos o polinômio característico associado:
Isso veio da substituição direta e elimina as derivadas, virando uma equação algébrica em
.
Passo 3
Agora calculamos o discriminante
da equação
:
Passo 4
Como
, as raízes
ficam:
- Para o “+”:
- Para o “−”:
Passo 5
Quando as raízes são reais e distintas (
e
), a solução geral da EDO é:
Aqui
e
são constantes de integração que você ajusta conforme condições iniciais ou de contorno.
Resposta
com
e
constantes.