Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas de coeficientes constantes.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “Resolva a equação diferencial homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes
Isso é conteúdo de EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes. Para resolver, a gente vai usar a técnica do polinômio ou equação característica, que nada mais é do que transformar a EDO num polinômio em
Passo 2
Vamos escrever a chamada equação característica associada à EDO. A regra é trocar
por
,
por
e
por 1.
Então a equação característica fica:
Então a equação característica fica:
Teoria rápida: para uma EDO do tipo
a equação característica é
Passo 3
Agora a gente resolve a equação quadrática
Usando a fórmula de Bhaskara:
Logo as raízes são
Passo 4
Como as raízes
e
são reais e distintas, a teoria diz que a solução geral da EDO é:
Aqui
e
são constantes de integração que você determina pelas condições iniciais (se tiver).