Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas de coeficientes constantes.
y^prime prime+4 y^prime-5 y=0

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Resolva a equação diferencial homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes
y'' + 4y' - 5y = 0,
Isso é conteúdo de EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes. Para resolver, a gente vai usar a técnica do polinômio ou equação característica, que nada mais é do que transformar a EDO num polinômio em , achar as raízes e montar a solução geral.

Passo 2

Vamos escrever a chamada equação característica associada à EDO. A regra é trocar r^2 + 4r - 5 = 0 por a,y'' + b,y' + c,y = 0, , a,r^2 + b,r + c = 0 por e por 1.
Então a equação característica fica:
Teoria rápida: para uma EDO do tipo
a equação característica é

Passo 3

Agora a gente resolve a equação quadrática
r^2 + 4r - 5 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
r = -4 pm raiz4^2 - 4cdot1cdot(-5)2cdot1 = -4 pm raiz16 + 202 = -4 pm raiz362 = -4 pm 62
Logo as raízes são
r1 = -4 + 62 = 1, r2 = -4 - 62 = -5

Passo 4

Como as raízes y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x e são reais e distintas, a teoria diz que a solução geral da EDO é:
Aqui e são constantes de integração que você determina pelas condições iniciais (se tiver).

Resposta

boxedy(x) = C1 e^,x + C2 e^-5x,

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