Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas de coeficientes constantes.
Passo 1
Beleza, a gente precisa resolver a equação diferencial homogênea de coeficientes constantes
com as condições iniciais
O conteúdo aqui é EDO (Equação Diferencial Ordinária) linear homogênea de coeficientes constantes. Para resolver, a gente vai:
- montar a equação característica,
- achar as raízes (podem ser reais simples, duplas ou complexas),
- escrever a solução geral,
- aplicar as condições iniciais pra achar as constantes.
Passo 2
Montando a equação característica, substituindo
:
Isso vem de
Passo 3
Vamos resolver
Repara que isso é um quadrado perfeito:
logo a raiz é dupla
.
Quando a raiz é dupla, a solução geral é
Quando a raiz é dupla, a solução geral é
Passo 4
Agora precisamos das constantes
e
usando as condições iniciais. Primeiro calcule
:
y(x)=C_1e^{3x}+C_2 x e^{3x}
=> y’(x)=3C_1e^{3x} + C_2\bigl(e^{3x} + 3x e^{3x}\bigr)
= e^{3x}\bigl(3C_1 + C_2 +3C_2x\bigr).
y(x)=C_1e^{3x}+C_2 x e^{3x}
=> y’(x)=3C_1e^{3x} + C_2\bigl(e^{3x} + 3x e^{3x}\bigr)
= e^{3x}\bigl(3C_1 + C_2 +3C_2x\bigr).
Aplicando em
:
- y(0)=C_1·1 + C_2·0 = C_1 = 2.
- y’(0)= e^{0}(3C_1 + C_2 + 0) = 3C_1 + C_2 =8.
Como, temos ⇒ ⇒ .