Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas de coeficientes constantes.
y^prime prime-6 y^prime+9 y=0 ; y(0)=2 ; y^prime(0)=8

Passo 1

Beleza, a gente precisa resolver a equação diferencial homogênea de coeficientes constantes
y''-6y'+9y=0
com as condições iniciais
y(0)=2, y'(0)=8
O conteúdo aqui é EDO (Equação Diferencial Ordinária) linear homogênea de coeficientes constantes. Para resolver, a gente vai:
  1. montar a equação característica,
  2. achar as raízes (podem ser reais simples, duplas ou complexas),
  3. escrever a solução geral,
  4. aplicar as condições iniciais pra achar as constantes.

Passo 2

Montando a equação característica, substituindo ysim e^rx:
r^2 -6r +9 = 0
Isso vem de y''to r^2e^rx, y'to re^rx e yto e^rx.

Passo 3

Vamos resolver
r^2 -6r +9 = 0
Repara que isso é um quadrado perfeito:
(r-3)^2=0,
logo a raiz é dupla r=3,3.
Quando a raiz é dupla, a solução geral é
y(x)=C1e^3x+C2,x,e^3x

Passo 4

Agora precisamos das constantes C1 e C2 usando as condições iniciais. Primeiro calcule y'(x):
y(x)=C_1e^{3x}+C_2 x e^{3x}
=> y’(x)=3C_1e^{3x} + C_2\bigl(e^{3x} + 3x e^{3x}\bigr)
= e^{3x}\bigl(3C_1 + C_2 +3C_2x\bigr).
Aplicando em x=0:
  1. y(0)=C_1·1 + C_2·0 = C_1 = 2.
  2. y’(0)= e^{0}(3C_1 + C_2 + 0) = 3C_1 + C_2 =8.
    Como C1=2, temos 3·2 + C2 =8 6 + C2=8 C2=2.

Resposta

boxedy(x)=2e^3x+2x,e^3x

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