Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas de coeficientes constantes.
y^prime prime-y^prime-12 y=0 ; y(0)=3 ; y^prime(0)=5.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial homogênea de coeficientes constantes
y'' - y' - 12,y = 0
sujeita às condições iniciais
y(0)=3, y'(0)=5
Conteúdo: Equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes.
O que vamos usar:
  1. Supor solução da forma e montar a equação característica.
  2. Resolver essa equação para obter as raízes .
  3. Montar a solução geral como combinação de expoentes.
  4. Aplicar as condições iniciais para achar as constantes.

Passo 2

Primeiro, supomos uma solução y'' - y' - 12y = r^2e^r x - r,e^r x - 12,e^r x = 0 . Substituindo na equação:
r^2 - r - 12 = 0
Como , a gente tira fator e fica com a equação característica:
Agora resolvemos esse polinômio de segundo grau.

Passo 3

Para resolver r = 1 pm raiz(-1)^2 - 4cdot1cdot(-12)2cdot1 = 1 pm raiz1 + 482 = 1 pm 72 , aplicamos a fórmula de Bhaskara:
r1 = 1 + 72 = 4, r2 = 1 - 72 = -3
Logo as raízes são

Passo 4

Como as raízes y(x) = C1 e^4x + C2 e^-3x, e são distintas, a solução geral da EDO é
onde e são constantes a determinar via condições iniciais.

Passo 5

  1. Usando y(0) = C1 e^0 + C2 e^0 = C1 + C2 = 3 :
y'(x) = 4C1 e^4x - 3C2 e^-3x
  1. Calculamos 4C1 - 3C2 = 5 :
C1 + C2 = 3, 4C1 - 3C2 = 5,
Em 3C1 + 3C2 = 9, 4C1 - 3C2 = 5 longrightarrow 7C1 = 14 ;Rightarrow; C1 = 2 ,
Resolvendo o sistema
podemos, por exemplo, multiplicar a primeira por 3 e somar:
Então .

Resposta

A solução do problema é
boxedy(x) = 2,e^4x + 1cdot e^-3x

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