Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas de coeficientes constantes.
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial homogênea de coeficientes constantes
sujeita às condições iniciais
Conteúdo: Equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes.
O que vamos usar:
O que vamos usar:
- Supor solução da forma
e montar a equação característica. - Resolver essa equação para obter as raízes
. - Montar a solução geral como combinação de expoentes.
- Aplicar as condições iniciais para achar as constantes.
Passo 2
Primeiro, supomos uma solução
. Substituindo na equação:
Como
, a gente tira fator e fica com a equação característica:
Agora resolvemos esse polinômio de segundo grau.
Passo 3
Para resolver
, aplicamos a fórmula de Bhaskara:
Logo as raízes são
Passo 4
Como as raízes
e
são distintas, a solução geral da EDO é
onde
e
são constantes a determinar via condições iniciais.
Passo 5
- Usando
:
- Calculamos
:
Em
,
dá
Resolvendo o sistema
podemos, por exemplo, multiplicar a primeira por 3 e somar:
Então
.
Resposta
A solução do problema é