Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas:
y d x+(2 \sqrt{x y}-x) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y\,dx + \bigl(2\sqrt{x y}-x\bigr)\,dy = 0
e pede para encontrar a solução geral (ou seja, resolver a equação).
Informações dadas e observações iniciais importantes:
  • A incógnita é a função y(x).
  • Os termos envolvem y, x e \sqrt{x y}.
  • Queremos uma expressão que relaciona x e y (solução implícita ou explícita) contendo uma constante arbitrária.

Passo 2

Transformar para facilitar a resolução: escrever a equação na forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0.
M(x,y)=y,\qquad N(x,y)=2\sqrt{x y}-x.
Vou tentar a substituição clássica para equações homogêneas (isto eu vou justificar agora): se M e N forem funções homogêneas do mesmo grau (isto é, M(tx,ty)=t^k M(x,y) e N(tx,ty)=t^k N(x,y) para algum k), então a substituição y=ux (com u=u(x)) transforma a equação numa equação separável em x e u. Verificação rápida: para t>0,
\sqrt{(tx)(ty)}=\sqrt{t^2 xy}=t\sqrt{xy},
logo \sqrt{xy} é homogênea de grau 1; x e y também são de grau 1. Assim M e N têm o mesmo grau 1 — a substituição y=ux é apropriada.
Agora faço a substituição y=ux. Então
dy = u\,dx + x\,du.

Passo 3

Substituir y=ux e dy na equação original e simplificar passo a passo:
Primeiro calcule \sqrt{x y} com y=ux:
\sqrt{x y}=\sqrt{x\cdot u x}=\sqrt{u}\,x.
Substituindo em cada termo:
y\,dx = u x\,dx,
\bigl(2\sqrt{x y}-x\bigr)\,dy = \bigl(2x\sqrt{u}-x\bigr)\,(u\,dx + x\,du).
Colocando tudo:
u x\,dx + \bigl(2x\sqrt{u}-x\bigr)\,(u\,dx + x\,du)=0.
Fatorando x (assumindo provisoriamente x\neq0) e dividindo por x:
u\,dx + (2\sqrt{u}-1)\bigl(u\,dx + x\,du\bigr)=0.

Passo 4

Expandir e agrupar termos em dx e du:
u\,dx + (2\sqrt{u}-1)u\,dx + (2\sqrt{u}-1)x\,du = 0.
Os dois primeiros termos somam:
u\bigl(1 + 2\sqrt{u}-1\bigr)\,dx = 2u\sqrt{u}\,dx.
Portanto a equação fica
2u\sqrt{u}\,dx + (2\sqrt{u}-1)x\,du = 0.
Isolando dx/x:
\frac{dx}{x} = -\frac{2\sqrt{u}-1}{2u\sqrt{u}}\,du.
Agora temos uma equação separável em x e u.

Passo 5

Para integrar o lado direito de forma mais simples, faço a mudança s=\sqrt{u}. Então
u = s^2,\qquad du = 2s\,ds.
Substituindo no integrando do lado direito:
\frac{2\sqrt{u}-1}{2u\sqrt{u}}\,du = \frac{2s-1}{2 s^3}\cdot(2s\,ds) = \frac{2s-1}{s^2}\,ds.
Assim a equação separada é
\frac{dx}{x} = -\frac{2s-1}{s^2}\,ds.

Passo 6

Integro ambos os lados:
esquerda:
\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C_1.
direita:
-\int \frac{2s-1}{s^2}\,ds = -\int\!\left(\frac{2}{s}-\frac{1}{s^2}\right)ds = -\bigl(2\ln|s| + \tfrac{1}{s}\bigr) + C_2.
Juntando constantes ( C=C_2-C_1) obtemos
\ln|x| = -2\ln|s| - \frac{1}{s} + C.

Passo 7

Voltar às variáveis originais: s=\sqrt{u} e u=\dfrac{y}{x}. Então s=\sqrt{\dfrac{y}{x}}. Primeiro simplifico o termo com logaritmo:
-2\ln|s| = -\ln|s^2| = -\ln|u|.
Portanto
\ln|x| = -\ln\bigl|u\bigr| - \frac{1}{s} + C.
Somando \ln|u| aos dois lados:
\ln|u| + \ln|x| = -\frac{1}{s} + C.
O lado esquerdo é \ln|ux|=\ln|y|. Assim
\ln|y| = -\frac{1}{s} + C.
Lembrando que \dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{\sqrt{u}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}=\sqrt{\dfrac{x}{y}}, obtemos a forma implícita mais limpa
\ln|y| + \sqrt{\dfrac{x}{y}} = C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 8

Discussão sobre soluções singulares e domínio:
  • A solução geral encontrada é implícita e válida quando y\neq 0 (pois aparece \ln|y| e \sqrt{y} no processo).
  • A função y\equiv 0 é uma solução singular da equação original (substituindo y=0 a equação reduz-se a -x\,dy=0, o que é satisfeito pela solução constante y=0). Essa solução não está contida na forma \ln|y|+\sqrt{x/y}=C.
  • Também foi assumido x\neq0 durante a divisão por x; a reta x\equiv0 não é tratada pela forma usual de dy/dx, mas pode ser verificada caso a caso se for necessário.

Resposta

\displaystyle \ln|y| + \sqrt{\dfrac{x}{y}} = C

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