Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas: y d x+(2 \sqrt{x y}-x) d y=0
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
y\,dx + \bigl(2\sqrt{x y}-x\bigr)\,dy = 0
e pede para encontrar a solução geral (ou seja, resolver a equação).
Informações dadas e observações iniciais importantes:
A incógnita é a função y(x).
Os termos envolvem y, x e \sqrt{x y}.
Queremos uma expressão que relaciona x e y (solução implícita ou explícita) contendo uma constante arbitrária.
Passo 2
Transformar para facilitar a resolução: escrever a equação na forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0.
M(x,y)=y,\qquad N(x,y)=2\sqrt{x y}-x.
Vou tentar a substituição clássica para equações homogêneas (isto eu vou justificar agora): se M e N forem funções homogêneas do mesmo grau (isto é, M(tx,ty)=t^k M(x,y) e N(tx,ty)=t^k N(x,y) para algum k), então a substituição y=ux (com u=u(x)) transforma a equação numa equação separável em x e u. Verificação rápida: para t>0,
\sqrt{(tx)(ty)}=\sqrt{t^2 xy}=t\sqrt{xy},
logo \sqrt{xy} é homogênea de grau 1; x e y também são de grau 1. Assim M e N têm o mesmo grau 1 — a substituição y=ux é apropriada.
Agora faço a substituição y=ux. Então
dy = u\,dx + x\,du.
Passo 3
Substituir y=ux e dy na equação original e simplificar passo a passo:
Primeiro calcule \sqrt{x y} com y=ux:
Voltar às variáveis originais: s=\sqrt{u} e u=\dfrac{y}{x}. Então s=\sqrt{\dfrac{y}{x}}. Primeiro simplifico o termo com logaritmo:
-2\ln|s| = -\ln|s^2| = -\ln|u|.
Portanto
\ln|x| = -\ln\bigl|u\bigr| - \frac{1}{s} + C.
Somando \ln|u| aos dois lados:
\ln|u| + \ln|x| = -\frac{1}{s} + C.
O lado esquerdo é \ln|ux|=\ln|y|. Assim
\ln|y| = -\frac{1}{s} + C.
Lembrando que \dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{\sqrt{u}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}=\sqrt{\dfrac{x}{y}}, obtemos a forma implícita mais limpa
\ln|y| + \sqrt{\dfrac{x}{y}} = C,
onde C é constante arbitrária.
Passo 8
Discussão sobre soluções singulares e domínio:
A solução geral encontrada é implícita e válida quando y\neq 0 (pois aparece \ln|y| e \sqrt{y} no processo).
A função y\equiv 0 é uma solução singular da equação original (substituindo y=0 a equação reduz-se a -x\,dy=0, o que é satisfeito pela solução constante y=0). Essa solução não está contida na forma \ln|y|+\sqrt{x/y}=C.
Também foi assumido x\neq0 durante a divisão por x; a reta x\equiv0 não é tratada pela forma usual de dy/dx, mas pode ser verificada caso a caso se for necessário.