Resolver os limites abaixo:
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende a
:
Informações dadas: a expressão é uma razão entre dois polinômios em
. A pergunta é apenas calcular o valor do limite quando
se aproxima de
.
Passo 2
Teste por substituição direta (primeira tentativa simples): substituir
na expressão para ver se o limite é o valor da função naquele ponto.
Esse resultado
é uma forma indeterminada. Explico: forma indeterminada significa que a substituição direta não dá um valor definido do limite — pode haver um limite finito, infinito ou não existir. Para resolver, usamos manipulações algébricas (fatoração/cancelamento) ou outro método apropriado. Aqui o caminho mais simples é fatorar os polinômios e cancelar fatores comuns.
Passo 3
Fatorar numerador e denominador passo a passo.
Numerador
:
- Procuramos dois números cujo produto seja
e cuja soma seja . Esses números são e . - Assim:
Denominador
:
- Isso é uma diferença de quadrados:
com e . - Logo:
Passo 4
Reescrever a fração com as fatorações encontradas e cancelar o fator comum
(válido para
, e isso é suficiente para o limite):
Para
podemos cancelar
, obtendo a função equivalente em um vizinho de
(exceto no próprio
):
Justificativa do passo: o limite quando
depende apenas do comportamento da função em valores próximos de
(mas diferentes de
). Como as duas expressões coincidem para todo
próximo de
com
, elas têm o mesmo limite. A nova função
é contínua em
, então o limite é simplesmente o valor obtido pela substituição em
.
Passo 5
Avaliar a função simplificada em
:
Passo 6
Observação alternativa (opcional): poderia-se também aplicar a regra de L’Hôpital porque obtivemos a forma indeterminada
. Derivando numerador e denominador:
avaliando em
:
chegando ao mesmo resultado. Mas a fatoração é mais direta aqui.