Resolver os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-5 x+6}{x^{2}-4}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende a 2:
\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-4}.
Informações dadas: a expressão é uma razão entre dois polinômios em x. A pergunta é apenas calcular o valor do limite quando x se aproxima de 2.

Passo 2

Teste por substituição direta (primeira tentativa simples): substituir x=2 na expressão para ver se o limite é o valor da função naquele ponto.
\text{substituindo }x=2:\qquad \frac{2^{2}-5\cdot 2+6}{2^{2}-4}=\frac{4-10+6}{4-4}=\frac{0}{0}.
Esse resultado \frac{0}{0} é uma forma indeterminada. Explico: forma indeterminada significa que a substituição direta não dá um valor definido do limite — pode haver um limite finito, infinito ou não existir. Para resolver, usamos manipulações algébricas (fatoração/cancelamento) ou outro método apropriado. Aqui o caminho mais simples é fatorar os polinômios e cancelar fatores comuns.

Passo 3

Fatorar numerador e denominador passo a passo.
Numerador x^{2}-5x+6:
  • Procuramos dois números cujo produto seja 6 e cuja soma seja -5. Esses números são -2 e -3.
  • Assim:
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3).
Denominador x^{2}-4:
  • Isso é uma diferença de quadrados: a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) com a=x e b=2.
  • Logo:
x^{2}-4=(x-2)(x+2).

Passo 4

Reescrever a fração com as fatorações encontradas e cancelar o fator comum (x-2) (válido para x\neq2, e isso é suficiente para o limite):
\frac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-4}=\frac{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+2)}.
Para x\neq2 podemos cancelar (x-2), obtendo a função equivalente em um vizinho de 2 (exceto no próprio 2):
\frac{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+2)}=\frac{x-3}{x+2}\qquad (x\neq2).
Justificativa do passo: o limite quando x\to2 depende apenas do comportamento da função em valores próximos de 2 (mas diferentes de 2). Como as duas expressões coincidem para todo x próximo de 2 com x\neq2, elas têm o mesmo limite. A nova função \dfrac{x-3}{x+2} é contínua em x=2, então o limite é simplesmente o valor obtido pela substituição em \dfrac{x-3}{x+2}.

Passo 5

Avaliar a função simplificada em x=2:
\lim_{x\to2}\frac{x-3}{x+2}=\frac{2-3}{2+2}=\frac{-1}{4}=-\frac{1}{4}.

Passo 6

Observação alternativa (opcional): poderia-se também aplicar a regra de L’Hôpital porque obtivemos a forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Derivando numerador e denominador:
\frac{d}{dx}(x^{2}-5x+6)=2x-5,\qquad \frac{d}{dx}(x^{2}-4)=2x,
avaliando em x=2:
\frac{2\cdot2-5}{2\cdot2}=\frac{-1}{4},
chegando ao mesmo resultado. Mas a fatoração é mais direta aqui.

Resposta

-\frac{1}{4}

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