Use o método de separação de variáveis para resolver cada uma das equações diferenciais abaixo:
y^{\prime}-2 x y=x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial e dá a seguinte relação (sem condição inicial):
y' - 2 x y = x.
O que se quer: encontrar a solução geral y(x) dessa equação diferencial de primeira ordem.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação está escrita em termos de y' (derivada de y em relação a x).
  • Não há condição inicial dada — portanto procuramos a solução geral com constante arbitrária.
  • O enunciado pede explicitamente para usar o método de separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever a equação de forma explícita em termos de \dfrac{dy}{dx}. A equação dada é
y' - 2 x y = x,
ou seja
\frac{dy}{dx} = 2x y + x.
Fatorando x no lado direito obtemos
\frac{dy}{dx} = x(2y+1).
Agora observar que o lado direito é produto de uma função somente de x (que é x) por uma função somente de y (que é 2y+1). Isso significa que a equação é separável: podemos colocar todos os termos com y de um lado e os com x do outro.

Passo 3

Vamos separar as variáveis. Dividindo ambos os lados por 2y+1 (supondo 2y+1\neq0 localmente) e multiplicando por dx, obtemos
\frac{1}{2y+1}\,dy = x\,dx.
Agora integramos os dois lados. Antes de integrar, recorde a fórmula básica que usaremos: para constantes a e b,
\int \frac{1}{a y + b}\,dy = \frac{1}{a}\ln\big|a y + b\big| + C.
Aplicando essa regra aqui, a integral do lado esquerdo é
\int \frac{1}{2y+1}\,dy = \frac{1}{2}\ln\big|2y+1\big|,
e a do lado direito é
\int x\,dx = \frac{x^2}{2}.
Portanto, após integrar:
\frac{1}{2}\ln\big|2y+1\big| = \frac{x^2}{2} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Multiplicamos por 2 para simplificar:
\ln\big|2y+1\big| = x^2 + C_1,
onde C_1=2C é outra constante arbitrária. Exponenciando ambos os lados:
\big|2y+1\big| = e^{x^2 + C_1} = e^{C_1} e^{x^2}.
Como e^{C_1} é uma constante positiva, podemos chamar A=e^{C_1}>0 e remover o valor absoluto permitindo que a constante multiplicativa seja qualquer número real não nulo (absorvendo o sinal em uma nova constante C). Assim escrevemos de forma geral
2y+1 = C e^{x^2},
onde C é uma constante arbitrária real. Finalmente, isolando y,
y(x) = \frac{C e^{x^2} - 1}{2}.
Podemos renomear a constante (por exemplo K=\tfrac{C}{2}) e escrever a forma equivalente mais simples
y(x) = K e^{x^2} - \tfrac{1}{2},
onde K\in\mathbb{R} é a constante arbitrária da solução geral.

Passo 5

(Verificação rápida) Diferenciando y(x)=K e^{x^2}-\tfrac{1}{2}:
\frac{dy}{dx} = K\cdot e^{x^2}\cdot 2x = 2x\big(K e^{x^2}\big).
Computando 2x y + x com a solução:
2x y + x = 2x\left(K e^{x^2}-\tfrac{1}{2}\right) + x = 2x K e^{x^2} - x + x = 2x K e^{x^2}.
Portanto \dfrac{dy}{dx}=2x y + x, a igualdade é satisfeita, conferindo que a solução está correta.

Resposta

y(x)=C e^{x^2}-\tfrac{1}{2},\qquad C\in\mathbb{R}.

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