Resolva as seguintes equações diferenciais homogenias:
y^{\prime \prime}-8 y=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 8\,y = 0.
O conteúdo envolve montar a equação característica associada e usar suas raízes para escrever a solução geral.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y=e^{r x}. Substituindo em \,y''-8y=0 gera a equação característica:
r^{2}-8=0.
Resolvendo-a, temos
r^{2}=8 \quad\Longrightarrow\quad r=\pm\sqrt{8}=\pm2\sqrt{2}.

Passo 3

Como as raízes r_{1}=2\sqrt{2} e r_{2}=-2\sqrt{2} são distintas, a solução geral da equação diferencial é dada por
y(x)=C_{1}e^{2\sqrt{2}\,x}+C_{2}e^{-2\sqrt{2}\,x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{2\sqrt{2}\,x}+C_{2}e^{-2\sqrt{2}\,x}.

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