Resolva as seguintes equações diferenciais homogenias:
y^{\prime \prime}-y^{\prime}-6 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-y'-6y=0.
Para isso, vamos usar a técnica da equação característica, que transforma a EDO numa equação algébrica em r.

Passo 2

Assumimos uma solução da forma y=e^{rx}. Então
y' = r e^{rx}, \quad y'' = r^2 e^{rx}.
Substituindo em y''-y'-6y=0 e dividindo por e^{rx}\neq0, obtemos a equação característica
r^2 - r - 6 = 0.

Passo 3

Resolvemos a equação quadrática
r^2 - r - 6 = (r-3)(r+2)=0,
logo as raízes são
r_1 = 3 \quad\text{e}\quad r_2 = -2.

Passo 4

Como as raízes r_1 e r_2 são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(x) = C_{1}e^{r_1 x} + C_{2}e^{r_2 x} = C_{1}e^{3x} + C_{2}e^{-2x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C_{1}e^{3x} + C_{2}e^{-2x}.

Exercícios relacionados