Resolva as seguintes equações diferenciais homogenias:
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=0

Passo 1

A gente tem a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' + y = 0.
O conteúdo aqui é resolver esse tipo de EDO usando a equação característica.

Passo 2

Para transformar a EDO na equação característica, substituímos y''\mapsto r^2, y'\mapsto r e y\mapsto1. Assim obtemos
r^2 + 2r + 1 = 0.

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática
r^2 + 2r + 1 = 0
o discriminante é
\Delta = 2^2 - 4\cdot1\cdot1 = 4 - 4 = 0,
logo há uma raiz dupla
r = \frac{-2}{2} = -1.

Passo 4

Quando a equação característica tem raiz dupla r=-1, a solução geral da EDO é
y(x) = \bigl(C_1 + C_2\,x\bigr)e^{-x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = \bigl(C_1 + C_2\,x\bigr)e^{-x}.

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