Resolva as seguintes equações diferenciais:
\left(3 x^{2}+2 x y\right) d x+\left(x^{2}+2 y\right) d y=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\left(3 x^{2}+2 x y\right) d x+\left(x^{2}+2 y\right) d y=0.
As informações explícitas que temos são:
  • A equação está na forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0 com M(x,y)=3x^{2}+2xy,\qquad N(x,y)=x^{2}+2y.
  • O que é pedido é a solução geral implícita F(x,y)=C (constante arbitrária) que satisfaça a equação diferencial.

Passo 2

Verificar se a equação é exata. Explico o conceito: uma equação M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata se existe uma função \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y)\qquad\text{e}\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y).
Uma condição prática para testar exatidão (quando M e N têm derivadas parciais contínuas) é:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculo as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}+2xy\bigr)=2x,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}+2y\bigr)=2x.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}=2x, a equação é exata.

Passo 3

Uma vez que a equação é exata, existe \Phi(x,y) tal que \dfrac{\partial \Phi}{\partial x}=M. Vou encontrar \Phi integrando M em relação a x, tratando y como constante durante a integração. Isso significa aplicar a integral indefinida em x:
\Phi(x,y)=\int M(x,y)\,dx = \int\bigl(3x^{2}+2xy\bigr)\,dx.
Faço a integral termo a termo:
\int 3x^{2}\,dx = x^{3},\qquad \int 2x y\,dx = x^{2}y,
pois y é constante na integração em x. Então
\Phi(x,y)=x^{3}+x^{2}y + g(y),
onde g(y) é uma função arbitrária de y (a “constante” de integração, mas que pode depender de y).

Passo 4

Agora uso a outra relação \dfrac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y) para determinar g(y). Calculo \dfrac{\partial \Phi}{\partial y} a partir da expressão encontrada:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}+x^{2}y+g(y)\bigr)=x^{2}+g'(y).
Essa derivada deve ser igual a N(x,y)=x^{2}+2y. Igualando:
x^{2}+g'(y)=x^{2}+2y.
Subtraindo x^{2} de ambos os lados obtemos
g'(y)=2y.
Integro agora em relação a y:
g(y)=\int 2y\,dy = y^{2} + C_0,
onde C_0 é uma constante arbitrária. Podemos incorporar C_0 depois como a constante geral da solução.

Passo 5

Substituo g(y) em \Phi(x,y). Assim:
\Phi(x,y)=x^{3}+x^{2}y+y^{2}+C_0.
A solução geral da equação diferencial exata é dada implicitamente por \Phi(x,y)= constante. Podemos então escrever a solução geral como
x^{3}+x^{2}y+y^{2}=C,
onde C é uma constante arbitrária (absorvendo C_0).

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova): calcular o diferencial total de \Phi:
d\Phi = \frac{\partial \Phi}{\partial x}\,dx + \frac{\partial \Phi}{\partial y}\,dy = (3x^{2}+2xy)\,dx + (x^{2}+2y)\,dy,
que é exatamente a forma dada na equação. Portanto d\Phi=0 leva à solução implícita acima, confirmando que está correta.

Resposta

x^{3}+x^{2}y+y^{2}=C

Exercícios relacionados