Resolva as seguintes equações diferenciais:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
As informações explícitas que temos são:
- A equação está na forma
com - O que é pedido é a solução geral implícita
(constante arbitrária) que satisfaça a equação diferencial.
Passo 2
Verificar se a equação é exata. Explico o conceito: uma equação
é exata se existe uma função
tal que
Uma condição prática para testar exatidão (quando
e
têm derivadas parciais contínuas) é:
Calculo as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Uma vez que a equação é exata, existe
tal que
. Vou encontrar
integrando
em relação a
, tratando
como constante durante a integração. Isso significa aplicar a integral indefinida em
:
Faço a integral termo a termo:
pois
é constante na integração em
. Então
onde
é uma função arbitrária de
(a “constante” de integração, mas que pode depender de
).
Passo 4
Agora uso a outra relação
para determinar
. Calculo
a partir da expressão encontrada:
Essa derivada deve ser igual a
. Igualando:
Subtraindo
de ambos os lados obtemos
Integro agora em relação a
:
onde
é uma constante arbitrária. Podemos incorporar
depois como a constante geral da solução.
Passo 5
Substituo
em
. Assim:
A solução geral da equação diferencial exata é dada implicitamente por
constante. Podemos então escrever a solução geral como
onde
é uma constante arbitrária (absorvendo
).
Passo 6
Verificação rápida (útil na prova): calcular o diferencial total de
:
que é exatamente a forma dada na equação. Portanto
leva à solução implícita acima, confirmando que está correta.