Resolva as seguintes equações diferenciais:
\left(1.5\right. ponto) x y\left(1+x y^{2}\right) \frac{d y}{d x}=1, y(1)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
x\,y\bigl(1 + x\,y^2\bigr)\,\frac{dy}{dx} = 1,
com condição inicial y(1)=0.
O conteúdo envolvido é a técnica de inverter variáveis para tratar x como função de y, obtendo uma equação de Bernoulli em x(y).

Passo 2

Invertemos a derivada para escrever x em função de y. Da equação original temos
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x\,y\,(1 + x\,y^2)} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dx}{dy} = x\,y\,(1 + x\,y^2).
Expandindo,
\frac{dx}{dy} = x\,y + x^2\,y^3.
Reconhecemos uma equação de Bernoulli em x(y):
\frac{dx}{dy} - y\,x = y^3\,x^2.

Passo 3

Para a Bernoulli \displaystyle \frac{dx}{dy} - y\,x = y^3\,x^2, tomamos a ordem n=2 e fazemos a substituição
v = x^{1-2} = x^{-1},
de modo que
\frac{dv}{dy} = -\,\frac{1}{x^2}\,\frac{dx}{dy}.
Substituindo \frac{dx}{dy} na definição de dv/dy obtemos
\frac{dv}{dy} = -\frac{1}{x^2}\bigl(x\,y + x^2\,y^3\bigr) = -\frac{y}{x} - y^3 = -y\,v - y^3.
Logo a equação em v(y) é linear:
\frac{dv}{dy} + y\,v = -y^3.

Passo 4

O fator integrante é
\mu(y) = \exp\!\Bigl(\int y\,dy\Bigr) = \exp\!\bigl(\tfrac{y^2}{2}\bigr).
Multiplicando a equação em v por \mu(y)
\frac{d}{dy}\!\Bigl(v\,e^{y^2/2}\Bigr) = -y^3\,e^{y^2/2}.
Integramos em y. Fazendo t = \tfrac{y^2}{2}, dt = y\,dy,
\int -y^3\,e^{y^2/2}\,dy = - \int 2t\,e^t\,dt = -2\bigl(te^t - e^t\bigr) = -2e^t\bigl(t - 1\bigr) = -e^{y^2/2}\bigl(y^2 - 2\bigr).
Então
v\,e^{y^2/2} = -e^{y^2/2}\bigl(y^2 - 2\bigr) + C \;\Longrightarrow\; v = 2 - y^2 + C\,e^{-y^2/2}.

Passo 5

Voltando a x, como v = x^{-1}, obtemos a solução geral implícita
\frac{1}{x} = 2 - y^2 + C\,e^{-y^2/2}.
Usando y(1)=0
1 = \frac{1}{1} = 2 - 0 + C\quad\Longrightarrow\quad C = -1.
Logo a solução particular é
\frac{1}{x} = 2 - y^2 - e^{-y^2/2}.

Resposta

A solução implícita que satisfaz y(1)=0 é
\boxed{\frac{1}{x} = 2 - y^2 - e^{-y^2/2}.}

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