Resolva as seguintes equações diferenciais:
ponto)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
com condição inicial
.
O conteúdo envolvido é a técnica de inverter variáveis para tratar como função de
, obtendo uma equação de Bernoulli em
.
O conteúdo envolvido é a técnica de inverter variáveis para tratar
Passo 2
Invertemos a derivada para escrever
em função de
. Da equação original temos
Expandindo,
Reconhecemos uma equação de Bernoulli em
:
Passo 3
Para a Bernoulli
, tomamos a ordem
e fazemos a substituição
de modo que
Substituindo
na definição de
obtemos
Logo a equação em
é linear:
Passo 4
O fator integrante é
Multiplicando a equação em
por
dá
Integramos em
. Fazendo
,
,
Então
Passo 5
Voltando a
, como
, obtemos a solução geral implícita
Usando
dá
Logo a solução particular é
Resposta
A solução implícita que satisfaz
é