(5pts) Verifique o teorema de Green para o campo
e a curva
,
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar o Teorema de Green para o campo
e a curva
dada por
que percorre a circunferência de raio 1 no sentido anti-horário.
O Teorema de Green diz que
O Teorema de Green diz que
onde
é o disco unitário interno a
. Vamos calcular ambos os lados.
Passo 2
Cálculo da integral de linha
.
Pela parametrização
,
obtemos
Então
e o integrando é
Integramos de
a
:
Mas
Logo
Passo 3
Cálculo da integral dupla
.
Temos
logo
Como
é o disco de raio 1, sua área é
. Portanto
Passo 4
Comparando os resultados, ambos os lados dão
. Isso confirma que
ou seja, o Teorema de Green está verificado para este
e esta curva
.
Resposta
logo o Teorema de Green vale e ambos os lados são iguais a