(5pts) Verifique o teorema de Green para o campo F(x, y)=\langle x-y, x\rangle e a curva C: r(t)=\langle\cos (t), \operatorname{sen}(t)\rangle, \operatorname{com} t \in[0,2 \pi].

Passo 1

O enunciado pede para verificar o Teorema de Green para o campo
F(x,y)=\langle P(x,y),\,Q(x,y)\rangle=\langle x-y,\;x\rangle
e a curva C dada por
r(t)=\langle\cos t,\;\operatorname{sen} t\rangle,\quad t\in[0,2\pi],
que percorre a circunferência de raio 1 no sentido anti-horário.
O Teorema de Green diz que
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA,
onde D é o disco unitário interno a C. Vamos calcular ambos os lados.

Passo 2

Cálculo da integral de linha \displaystyle\oint_C P\,dx+Q\,dy.
Pela parametrização x=\cos t, y=\operatorname{sen} t obtemos
dx=-\operatorname{sen} t\,dt, \quad dy=\cos t\,dt.
Então
P(x,y)=x-y=\cos t-\operatorname{sen} t, \quad Q(x,y)=x=\cos t,
e o integrando é
P\,dx+Q\,dy =(\cos t-\operatorname{sen} t)(-\,\operatorname{sen} t\,dt)+(\cos t)(\cos t\,dt) =\bigl[-\cos t\,\operatorname{sen} t+\operatorname{sen}^2t+\cos^2t\bigr]dt =\bigl[1-\cos t\,\operatorname{sen} t\bigr]dt.
Integramos de 0 a 2\pi:
\oint_C P\,dx+Q\,dy =\int_{0}^{2\pi}\bigl(1-\cos t\,\operatorname{sen} t\bigr)\,dt =\int_{0}^{2\pi}1\,dt -\int_{0}^{2\pi}\cos t\,\operatorname{sen} t\,dt.
Mas
\int_{0}^{2\pi}\cos t\,\operatorname{sen} t\,dt =\frac12\int_{0}^{2\pi}\frac{d}{dt}(\operatorname{sen}^2t)\,dt =\frac12\bigl[\operatorname{sen}^2t\bigr]_{0}^{2\pi}=0.
Logo
\oint_C P\,dx+Q\,dy =\int_{0}^{2\pi}1\,dt =2\pi.

Passo 3

Cálculo da integral dupla
\displaystyle\iint_{D}\bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\bigr)dA.
Temos
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial (x)}{\partial x}=1, \quad \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial (x-y)}{\partial y}=-1,
logo
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1-(-1)=2.
Como D é o disco de raio 1, sua área é \pi. Portanto
\iint_{D}2\,dA =2\cdot\mathrm{Area}(D) =2\pi.

Passo 4

Comparando os resultados, ambos os lados dão 2\pi. Isso confirma que
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA =2\pi,
ou seja, o Teorema de Green está verificado para este F e esta curva C.

Resposta

\displaystyle\oint_{C}F\cdot dr=2\pi e
\displaystyle\iint_{D}(\partial_xQ-\partial_yP)\,dA=2\pi,
logo o Teorema de Green vale e ambos os lados são iguais a 2\pi.

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