• O que é possível afirmar sobre os pontos de máximos e mínimos locais de \sin (x y)+ \cos \left(x^{2}+y^{2}\right). (Dica, será preciso analisar diversos casos.)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\sin(xy)+\cos\bigl(x^2+y^2\bigr)
e pede os pontos de máximo e mínimo locais. Para isso vamos (i) calcular as derivadas parciais, (ii) achar os pontos críticos (gradiente nulo) e (iii) classificar os extremos (ver quais são máximos, mínimos ou sella).

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f\): \[\frac{\partial f}{\partial x} = y\cos(xy)\;-\;2x\sin\bigl(x^2+y^2\bigr),
\frac{\partial f}{\partial y} = x\cos(xy)\;-\;2y\sin\bigl(x^2+y^2\bigr).
Os pontos críticos satisfazem o sistema
\begin{cases} y\cos(xy) - 2x\sin(r^2) = 0,\\\ x\cos(xy) - 2y\sin(r^2) = 0, \end{cases}
onde (r2=x2+y^2].

Passo 3

Para simplificar, multiplique a primeira equação por x e a segunda por y, e subtraia-as:
x\,y\cos(xy)-2x^2\sin(r^2) \;-\;\bigl(x\,y\cos(xy)-2y^2\sin(r^2)\bigr) =0 \;\Longrightarrow\; 2\,(y^2 - x^2)\,\sin(r^2)=0.
Dessa forma surgem dois casos principais:
Caso 1. \sin(r^2)=0.
Caso 2. x^2=y^2.

Passo 4

Caso 1: \sin(r^2)=0. Então
r^2 = k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Voltando ao sistema original, como \sin(r^2)=0 as derivadas exigem
y\cos(xy)=0, \quad x\cos(xy)=0.
Ou seja, ou x=y=0 (que corresponde a k=0) ou
\cos(xy)=0 \;\Longrightarrow\; xy = \tfrac{\pi}{2} + \ell\pi, \quad \ell\in\mathbb{Z}.
Portanto, além de (0,0), surge a família de pontos críticos
\boxed{ x^2+y^2 = k\pi,\quad xy = \frac{\pi}{2} + \ell\pi, \quad k,\ell\in\mathbb{Z}. }
Nesses pontos
f(x,y) =\sin\!\Bigl(\tfrac{\pi}{2}+\ell\pi\Bigr) +\cos(k\pi) =(-1)^\ell +(-1)^k.

Passo 5

Caso 2: x^2=y^2. Então y=\pm x. Se x=0 já voltamos a (0,0). Se x\neq0, ao substituir num dos zeros de derivada obtemos condições como
\cos(x^2)=4\sin(x^2)\cos(x^2) \quad\text{ou}\quad -\cos(x^2)=4\sin(x^2)\cos(x^2),
que levam a \cos(x^2)=0 ou \sin(x^2)=\pm\frac14. Essas são infinitas, mas todas geram valores de f estritamente entre -2 e 2, caracterizando pontos de sela.

Passo 6

Voltemos à família do caso 1 onde
f=(-1)^\ell +(-1)^k.
Há três situações:
(-1)^\ell +(-1)^k = \begin{cases} 2,&\ell\text{ par},\\ k\text{ par},\\\\ -2,&\ell\text{ ímpar},\\ k\text{ ímpar},\\\\ 0,&\text{um par e outro ímpar}. \end{cases}ííí
Como o alcance de f é [-2,2], concluímos que
— quando \ell,k são ambos pares, f=2 e esses pontos são máximos (locais e globais);
— quando \ell,k são ambos ímpares, f=-2 e esses pontos são mínimos (locais e globais);
— nos demais, f=0 e são pontos de sela.

Resposta

Os únicos máximos locais ocorrem em
xy = \frac{\pi}{2} + 2\pi m,\quad x^2+y^2 = 2\pi n, \quad m,n\in\mathbb{Z},
e os únicos mínimos locais ocorrem em
xy = \frac{3\pi}{2} + 2\pi m,\quad x^2+y^2 = (2n+1)\pi, \quad m,n\in\mathbb{Z}.
Todos os outros pontos críticos são de sela.

Exercícios relacionados