O que é possível afirmar sobre os pontos de máximos e mínimos locais de \sin (x y)+\cos \left(x^{2}+y^{2}\right). (Dica, será preciso analisar diversos casos.)
Passo 1
O enunciado dá a função
f(x,y)=\sin(xy)+\cos\bigl(x^2+y^2\bigr)
e pede os pontos de máximo e mínimo locais. Para isso vamos (i) calcular as derivadas parciais, (ii) achar os pontos críticos (gradiente nulo) e (iii) classificar os extremos (ver quais são máximos, mínimos ou sella).
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de f\):
\[\frac{\partial f}{\partial x} = y\cos(xy)\;-\;2x\sin\bigl(x^2+y^2\bigr),
que levam a \cos(x^2)=0 ou \sin(x^2)=\pm\frac14. Essas são infinitas, mas todas geram valores de f estritamente entre -2 e 2, caracterizando pontos de sela.
Passo 6
Voltemos à família do caso 1 onde
f=(-1)^\ell +(-1)^k.
Há três situações:
(-1)^\ell +(-1)^k = \begin{cases} 2,&\ell\text{ par},\\ k\text{ par},\\\\ -2,&\ell\text{ ímpar},\\ k\text{ ímpar},\\\\ 0,&\text{um par e outro ímpar}. \end{cases}
Como o alcance de f é [-2,2], concluímos que
— quando \ell,k são ambos pares, f=2 e esses pontos são máximos (locais e globais);
— quando \ell,k são ambos ímpares, f=-2 e esses pontos são mínimos (locais e globais);
— nos demais, f=0 e são pontos de sela.