Resolva as seguintes Equações Diferenciais:
(x+1)\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-1\right)=2(y-x).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
(x+1)\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-1\right)=2(y-x).
Informações dadas:
(x+1)\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-1\right)=2(y-x)
é a única relação fornecida. O objetivo é encontrar a função y(x) que satisfaça essa equação (a solução geral, com constante arbitrária).

Passo 2

Primeiro faço álgebra para isolar \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} e colocar a equação numa forma mais clara. Distribuo o lado esquerdo:
(x+1)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-(x+1)=2y-2x.
Agora passo os termos não dependentes de \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} para o outro lado:
(x+1)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=2y-2x+(x+1).
Somando os termos do lado direito:
2y-2x+(x+1)=2y-x+1.
Portanto
(x+1)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=2y-x+1.

Passo 3

Agora divido por x+1 (assumindo x\neq-1; a solução será considerada em intervalos onde x+1 não se anula):
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{2y-x+1}{x+1}.
Reescrevo isso na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)\,y=Q(x). Coloco todos os termos com y no lado esquerdo:
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-\frac{2}{x+1}y=\frac{-x+1}{x+1}.
Aqui identifico
P(x)=-\frac{2}{x+1},\qquad Q(x)=\frac{-x+1}{x+1}.

Passo 4

Vou usar o método do fator integrante (integrating factor). Breve explicação do método: para uma equação linear y'+P(x)y=Q(x) calcula-se o fator integrante
\mu(x)=\exp\left(\int P(x)\,\mathrm{d}x\right).
Multiplicando a equação por \mu(x) o lado esquerdo passa a ser a derivada de \mu(x)\,y. Então integra-se e resolve-se para y. Esse método é padrão e eficiente para equações lineares de primeira ordem.

Passo 5

Calculo o fator integrante usando P(x)=-\dfrac{2}{x+1}:
\mu(x)=\exp\left(\int -\frac{2}{x+1}\,\mathrm{d}x\right)=\exp\big(-2\ln|x+1|\big)=|x+1|^{-2}.
Para trabalhar de modo simples, tomo \mu(x)=(x+1)^{-2} (isso dá a mesma forma da solução em intervalos onde x+1>0 ou x+1<0; o tratamento do valor absoluto só separa intervalos de definição).

Passo 6

Multiplico a equação padrão por \mu(x)=(x+1)^{-2}:
(x+1)^{-2}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-\frac{2}{x+1}(x+1)^{-2}y=(x+1)^{-2}\cdot\frac{-x+1}{x+1}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto (x+1)^{-2}y. Ou seja,
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big((x+1)^{-2}y\big)=(x+1)^{-2}\cdot\frac{-x+1}{x+1}.
Simplifico o lado direito:
(x+1)^{-2}\cdot\frac{-x+1}{x+1}=\frac{-x+1}{(x+1)^3}.

Passo 7

Integro ambos os lados em relação a x:
\int \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big((x+1)^{-2}y\big)\,\mathrm{d}x=\int \frac{-x+1}{(x+1)^3}\,\mathrm{d}x.
O lado esquerdo integra para (x+1)^{-2}y. Para o lado direito faço a substituição simples u=x+1, então \mathrm{d}u=\mathrm{d}x e -x+1=-(u-1)+1=-u+2. Assim
\int \frac{-x+1}{(x+1)^3}\,\mathrm{d}x=\int \frac{-u+2}{u^3}\,\mathrm{d}u=\int\left(-u^{-2}+2u^{-3}\right)\mathrm{d}u.
Integro termo a termo:
\int -u^{-2}\,\mathrm{d}u= u^{-1},\qquad \int 2u^{-3}\,\mathrm{d}u = -u^{-2}.
Portanto a integral dá
\frac{1}{u}-\frac{1}{u^2}+C=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^2}+C,
onde C é a constante de integração.
Logo temos
(x+1)^{-2}y=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^2}+C.

Passo 8

Multiplico ambos os lados por (x+1)^2 para isolar y:
y=(x+1)-1 + C(x+1)^2.
Simplifico (x+1)-1=x. Assim a solução geral é
y=x+C(x+1)^2,
onde C é constante arbitrária.

Passo 9

Cheque rápido (opcional, mas bom para confiança): se y=x+C(x+1)^2 então
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=1+2C(x+1).
Calculando (x+1)\big(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-1\big)=(x+1)\cdot 2C(x+1)=2C(x+1)^2 e 2(y-x)=2C(x+1)^2. Ambos os lados coincidem, logo a solução está correta para qualquer C.

Resposta

y=x+C(x+1)^2,\qquad C\in\mathbb{R}

Exercícios relacionados