Resolva as seguintes Equações Diferenciais:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas:
é a única relação fornecida. O objetivo é encontrar a função
que satisfaça essa equação (a solução geral, com constante arbitrária).
Passo 2
Primeiro faço álgebra para isolar
e colocar a equação numa forma mais clara. Distribuo o lado esquerdo:
Agora passo os termos não dependentes de
para o outro lado:
Somando os termos do lado direito:
Portanto
Passo 3
Agora divido por
(assumindo
; a solução será considerada em intervalos onde
não se anula):
Reescrevo isso na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem
. Coloco todos os termos com
no lado esquerdo:
Aqui identifico
Passo 4
Vou usar o método do fator integrante (integrating factor). Breve explicação do método: para uma equação linear
calcula-se o fator integrante
Multiplicando a equação por
o lado esquerdo passa a ser a derivada de
. Então integra-se e resolve-se para
. Esse método é padrão e eficiente para equações lineares de primeira ordem.
Passo 5
Calculo o fator integrante usando
:
Para trabalhar de modo simples, tomo
(isso dá a mesma forma da solução em intervalos onde
ou
; o tratamento do valor absoluto só separa intervalos de definição).
Passo 6
Multiplico a equação padrão por
:
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
. Ou seja,
Simplifico o lado direito:
Passo 7
Integro ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo integra para
. Para o lado direito faço a substituição simples
, então
e
. Assim
Integro termo a termo:
Portanto a integral dá
onde
é a constante de integração.
Logo temos
Passo 8
Multiplico ambos os lados por
para isolar
:
Simplifico
. Assim a solução geral é
onde
é constante arbitrária.
Passo 9
Cheque rápido (opcional, mas bom para confiança): se
então
Calculando
e
. Ambos os lados coincidem, logo a solução está correta para qualquer
.