Resolva as seguintes Equações Diferenciais:
y \operatorname{sec} ^{2} x+(y+7) \tan x \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y\operatorname{sec}^{2}x + (y+7)\tan x\,\frac{dy}{dx}=0
e pede que a gente resolva para y(x). Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{(i)}\\ \text{o incógnita é }y(x).óé
\text{(ii)}\\ \operatorname{sec}^{2}x\text{ e }\tan x\text{ aparecem, logo }x\text{ deve evitar pontos onde }\cos x=0.
Não faço nenhuma operação agora — apenas identifiquei o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Vamos isolar \dfrac{dy}{dx}. Da equação
y\operatorname{sec}^{2}x + (y+7)\tan x\,\frac{dy}{dx}=0
subtraio y\operatorname{sec}^{2}x dos dois lados e divido por (y+7)\tan x (por enquanto supondo y+7\neq0 e \tan x\neq0):
\frac{dy}{dx} = -\frac{y\operatorname{sec}^{2}x}{(y+7)\tan x}.

Passo 3

Vou separar variáveis. Primeiro simplifico a parte em x:
\frac{\operatorname{sec}^{2}x}{\tan x}=\frac{1/\cos^{2}x}{\sin x/\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x}.
Portanto
\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{y+7}\cdot\frac{1}{\sin x\cos x}.
Agora separo y de x (assumindo provisoriamente y\neq0 e \tan x\neq0):
\frac{y+7}{y}\,dy = -\frac{dx}{\sin x\cos x}.
Observação importante: dividimos por y e por \tan x, então tratamos depois os casos em que isso falha (soluções singulares).

Passo 4

Integro os dois lados. Primeiro o lado em y:
\int \frac{y+7}{y}\,dy = \int \left(1+\frac{7}{y}\right)dy = y + 7\ln|y| + C_1.
Aqui usei que \int 1\,dy = y e \int \dfrac{1}{y}\,dy=\ln|y|. O valor absoluto em \ln|y| é obrigatório porque o logaritmo natural precisa de argumento positivo.

Passo 5

Agora o lado em x:
\int -\frac{dx}{\sin x\cos x} = -\int \frac{dx}{\sin x\cos x}.
Uma identidade útil é \dfrac{1}{\sin x\cos x}=\dfrac{2}{\sin 2x}. Assim
-\int \frac{dx}{\sin x\cos x} = -2\int \csc 2x\,dx.
Para integrar \csc u usamos a fórmula
\int \csc u\,du = \ln\big|\tan\frac{u}{2}\big| + C.
Aplicando com u=2x (então du=2dx) obtemos
-2\int \csc 2x\,dx = -2\cdot\frac{1}{2}\ln\big|\tan x\big| + C_2 = -\ln\big|\tan x\big| + C_2.

Passo 6

Igualando as duas integrais (absorvendo C_1 e C_2 numa constante única C) obtemos a solução implícita geral:
y + 7\ln|y| = -\ln\big|\tan x\big| + C.
Rearranjando para um único lado:
y + 7\ln|y| + \ln\big|\tan x\big| = C.
Também posso escrever em forma de logaritmo combinado:
y + \ln\big(|y|^{7}\,|\tan x|\big) = C,
mas a forma anterior é mais direta.

Passo 7

Tratamento das soluções singulares que perdemos ao dividir:
  • Verifico y\equiv 0. Substituindo na equação original:
0\cdot\operatorname{sec}^{2}x + (0+7)\tan x\cdot 0 = 0,
ou seja, 0=0. Logo y\equiv 0 é uma solução válida (ela não aparece na solução geral implícita por causa do \ln|y|).
  • y\equiv -7 não é solução porque, substituindo, ficaria -7\operatorname{sec}^{2}x =0, impossível.
  • Domínio: a solução implícita exige \cos x\neq0 (para \operatorname{sec}^2 e \tan estarem bem definidos) e, na forma obtida, \tan x\neq0 ou então lidar com pontos isolados; mas y\equiv0 cobre o caso em que fizemos divisão por y.

Resposta

y + 7\ln|y| + \ln\big|\tan x\big| = C
y\equiv 0

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