Resolva as seguintes Equações Diferenciais:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que a resolvamos. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A variável independente é
e a dependente é . - No lado direito aparece
, portanto devemos assumir (domínio natural da função logarítmica). - O denominador
precisa estar definido: isso exige (pois não está definido quando ) e também evita pontos onde (esses pontos fariam o lado direito explodir). Soluções que cruzem tais pontos precisam ser tratadas à parte; aqui procuramos a solução geral implícita em regiões onde a expressão é bem definida. - O objetivo é encontrar
(ou uma relação implícita entre e ) que satisfaça a equação.
Passo 2
Observação sobre forma da equação: a expressão do lado direito é um quociente de uma função de
por uma função de
. Podemos reescrever a equação de modo a separar as variáveis:
Isto é uma equação separável: todas as dependências em
ficam em um lado e as em
no outro. Podemos integrar ambos os lados em
e
respectivamente, desde que trabalhemos em regiões onde as funções envolvidas são contínuas (como indicado no Passo 1).
Passo 3
Escrevemos a igualdade de integrais e usamos linearidade da integral:
Vamos calcular cada integral separadamente.
Passo 4
Integral do lado esquerdo (em
):
-
, porque a derivada de é . -
, porque a derivada de é .
Somando os dois termos obtemos
Passo 5
Integral do lado direito (em
):
-
, pois a derivada de é . - Para
fazemos a substituição . Então , e a integral fica . Voltando a obtemos .
Assim
Passo 6
Igualando as primitivas e acrescentando a constante de integração geral
, obtemos a solução implícita:
Podemos reorganizar para uma forma mais simétrica:
onde
é a constante de integração. Esta é a família geral de curvas solução, válida para
e em intervalos de
onde
e
.
Passo 7
Comentários finais e como usar isto na prova:
- Técnica usada: separar variáveis e integrar ambos os lados — é um método rápido quando a equação pode ser escrita como produto de uma função de
por igual a produto de uma função de por . - Lembre-se de verificar domínio: aqui
exige ; também não podemos atravessar pontos onde o denominador original se anula. - Se precisar obter
explicitamente, em geral será difícil inverter a relação (algo em ); portanto a solução implícita é a forma natural e aceitável em prova.