Resolva as seguintes Equações Diferenciais:
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\sin x+\frac{\log x}{x}}{\cos y-\operatorname{sec} ^{2} y}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\sin x+\dfrac{\log x}{x}}{\cos y-\operatorname{sec}^{2}y}
e pede que a resolvamos. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A variável independente é x e a dependente é y(x).
  • No lado direito aparece \log x, portanto devemos assumir x>0 (domínio natural da função logarítmica).
  • O denominador \cos y-\operatorname{sec}^{2}y precisa estar definido: isso exige \cos y\neq 0 (pois \operatorname{sec} y não está definido quando \cos y=0) e também evita pontos onde \cos y-\operatorname{sec}^{2}y=0 (esses pontos fariam o lado direito explodir). Soluções que cruzem tais pontos precisam ser tratadas à parte; aqui procuramos a solução geral implícita em regiões onde a expressão é bem definida.
  • O objetivo é encontrar y(x) (ou uma relação implícita entre x e y) que satisfaça a equação.

Passo 2

Observação sobre forma da equação: a expressão do lado direito é um quociente de uma função de x por uma função de y. Podemos reescrever a equação de modo a separar as variáveis:
\cos y-\operatorname{sec}^{2}y \;=\;( \cos y-\operatorname{sec}^{2}y),\quad\text{portanto}
(\cos y-\operatorname{sec}^{2}y)\,\mathrm{d}y = \left(\sin x+\frac{\log x}{x}\right)\mathrm{d}x.
Isto é uma equação separável: todas as dependências em y ficam em um lado e as em x no outro. Podemos integrar ambos os lados em y e x respectivamente, desde que trabalhemos em regiões onde as funções envolvidas são contínuas (como indicado no Passo 1).

Passo 3

Escrevemos a igualdade de integrais e usamos linearidade da integral:
\int\!\left(\cos y-\operatorname{sec}^{2}y\right)\mathrm{d}y = \int\!\left(\sin x+\frac{\log x}{x}\right)\mathrm{d}x.
Vamos calcular cada integral separadamente.

Passo 4

Integral do lado esquerdo (em y):
  • \displaystyle\int \cos y\,\mathrm{d}y=\sin y, porque a derivada de \sin y é \cos y.
  • \displaystyle\int -\operatorname{sec}^{2}y\,\mathrm{d}y=-\tan y, porque a derivada de \tan y é \operatorname{sec}^{2}y.
    Somando os dois termos obtemos
\int\!\left(\cos y-\operatorname{sec}^{2}y\right)\mathrm{d}y=\sin y-\tan y.

Passo 5

Integral do lado direito (em x):
  • \displaystyle\int \sin x\,\mathrm{d}x=-\cos x, pois a derivada de -\cos x é \sin x.
  • Para \displaystyle\int \frac{\log x}{x}\,\mathrm{d}x fazemos a substituição u=\log x. Então \mathrm{d}u=\dfrac{1}{x}\mathrm{d}x, e a integral fica \displaystyle\int u\,\mathrm{d}u=\frac{u^{2}}{2}. Voltando a x obtemos \dfrac{(\log x)^{2}}{2}.
    Assim
\int\!\left(\sin x+\frac{\log x}{x}\right)\mathrm{d}x = -\cos x + \frac{(\log x)^{2}}{2}.

Passo 6

Igualando as primitivas e acrescentando a constante de integração geral C, obtemos a solução implícita:
\sin y-\tan y = -\cos x + \frac{(\log x)^{2}}{2} + C.
Podemos reorganizar para uma forma mais simétrica:
\sin y-\tan y + \cos x - \frac{(\log x)^{2}}{2} = C,
onde C\in\mathbb{R} é a constante de integração. Esta é a família geral de curvas solução, válida para x>0 e em intervalos de y onde \cos y\neq 0 e \cos y-\operatorname{sec}^{2}y\neq 0.

Passo 7

Comentários finais e como usar isto na prova:
  • Técnica usada: separar variáveis e integrar ambos os lados — é um método rápido quando a equação pode ser escrita como produto de uma função de y por \mathrm{d}y igual a produto de uma função de x por \mathrm{d}x.
  • Lembre-se de verificar domínio: aqui \log x exige x>0; também não podemos atravessar pontos onde o denominador original se anula.
  • Se precisar obter y explicitamente, em geral será difícil inverter a relação \sin y-\tan y= (algo em x); portanto a solução implícita é a forma natural e aceitável em prova.

Resposta

\sin y-\tan y + \cos x - \dfrac{(\log x)^{2}}{2} = C

Exercícios relacionados