Resolva as seguintes equações diferenciais:
\left(2 x^{2} y-2 y+1\right) d x-x d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\bigl(2x^{2}y - 2y + 1\bigr)\,dx - x\,dy = 0
e pede a solução geral y(x). Trata-se de uma equação de primeira ordem que podemos colocar na forma padrão
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x),
ou seja, é uma EDO linear de coeficientes que dependem só de x.

Passo 2

Começamos isolando \dfrac{dy}{dx}. A equação original pode ser reescrita como
(2x^{2}y - 2y + 1)\,dx = x\,dy \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{2x^{2}y - 2y + 1}{x}.
Faço a divisão em dois termos que envolvem y mais o termo livre:
\frac{dy}{dx} = 2x\,y \;-\; \frac{2y}{x} \;+\; \frac{1}{x}.
Agrupando o coeficiente de y:
\frac{dy}{dx} + \Bigl(-2x + \tfrac{2}{x}\Bigr)\,y = \frac{1}{x}.
Logo
P(x) = -2x + \frac{2}{x}, \qquad Q(x) = \frac{1}{x}.

Passo 3

Calculo o fator integrante
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\!\Bigl(\int \bigl(-2x + \tfrac{2}{x}\bigr)\,dx\Bigr).
Fazendo a integral
\int \bigl(-2x + \tfrac{2}{x}\bigr)\,dx = -x^{2} + 2\ln|x|,
portanto
\mu(x) = e^{-x^{2} + 2\ln|x|} = x^{2}\,e^{-x^{2}}.

Passo 4

Multiplico a equação padrão por \mu(x), obtendo
x^{2}e^{-x^{2}}\frac{dy}{dx} + x^{2}e^{-x^{2}}\bigl(-2x + \tfrac{2}{x}\bigr)y = x^{2}e^{-x^{2}}\cdot \frac{1}{x}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto \mu(x)\,y, isto é,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}e^{-x^{2}}\,y\bigr) = x\,e^{-x^{2}}.

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}e^{-x^{2}}\,y\bigr)\,dx = \int x\,e^{-x^{2}}\,dx.
A integral do lado direito é direta por substituição u = -x^{2}:
\int x\,e^{-x^{2}}\,dx = -\tfrac12 e^{-x^{2}} + C.
Então
x^{2}e^{-x^{2}}\,y = -\tfrac12 e^{-x^{2}} + C.

Passo 6

Isolando y, multiplico ambos os lados por e^{x^{2}} e divido por x^{2}:
y = \frac{-\tfrac12 e^{-x^{2}} + C}{x^{2}e^{-x^{2}}} = -\frac{1}{2x^{2}} + C\frac{e^{x^{2}}}{x^{2}}.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
\boxed{y(x) = -\frac{1}{2x^{2}} + C\,\frac{e^{x^{2}}}{x^{2}},}
onde C é constante de integração.

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