Resolva as seguintes equações diferenciais lineares:
d yd x=y2 y log y+y-x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
dydx=y2ylog y + y - x
e pede a solução geral. Aqui a ideia é inverter a derivada para obter uma equação linear de primeira ordem em x como função de y.

Passo 2

Invertendo obtemos
dxdy=2ylog y + y - xy
e isso reescreve-se como
dxdy + 1y,x = 2log y + 1

Passo 3

Essa é uma equação linear da forma dxdy+P(y)x=Q(y) com P(y)=1/y. O fator integrante é
mu(y)=exp!l(integral 1y,dyr)=y
Multiplicando tudo por y vem
ydxdy+x = 2ylog y + y,
que é exatamente
ddyl(xyr)=2ylog y + y

Passo 4

Agora integramos em relação a y:
integral ddy(xy),dy = integral l(2ylog y + yr),dy
No lado direito, por partes,
integral 2ylog y,dy = y^2log y - integral y,dy = y^2log y - y^22,
e
integral y,dy = y^22
Somando dá ,y^2log y + C. Logo
xy = y^2log y + C

Passo 5

Bastou isolar x:
x = ylog y + Cy

Resposta

xy - y^2log y = C,
que é a solução geral implícita da equação dada.

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