Resolva as seguintes equações diferenciais lineares:
d y+(x yx^2-1-x) d x=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
d y + l(x,yx^2-1 - xr),d x = 0
que é uma equação de primeira ordem linear em y. Para resolver, vamos reescrevê-la no formato
d yd x + P(x),y = Q(x)
identificar P(x) e Q(x), determinar o fator integrante mu(x) e, em seguida, integrar para achar a solução geral.

Passo 2

Reescrevendo a equação em forma padrão de equação linear:
d yd x + underbracexx^2-1P(x),y = underbracexQ(x)

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x) = exp!l(integral P(x),dxr) = exp!l(integral xx^2-1,dxr) = exp!l(tfrac12 ln|x^2-1|r) = raizx^2-1

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(x) obtemos
raizx^2-1,d yd x + xraizx^2-1,y = xraizx^2-1,
cujo lado esquerdo é exatamente
dd xl(raizx^2-1,yr)
Logo,
dd xl(raizx^2-1,yr) = xraizx^2-1
Integramos em relação a x:
raizx^2-1,y = integral xraizx^2-1,dx + C
Para a integral, fazemos u = x^2-1, du = 2x,dx, daí
integral xraizx^2-1,dx = tfrac12 integral u^1/2,du = tfrac13,u^3/2 = tfrac13,(x^2-1)^3/2

Passo 5

Substituindo de volta e isolando y:
raizx^2-1,y = tfrac13,(x^2-1)^3/2 + C Longrightarrow y = 13(x^2-1) + Craizx^2-1

Resposta

y(x) = x^2-13 ;+;Craizx^2-1,
onde C é a constante de integração.

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