Encontrar o intervalo de convergência das seguintes séries de potências (Verificar a convergência, ou não, nos extremos dos intervalos):
sumn=1^infty 2^n x^nn^2.

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^infty 2^nx^nn^2
O conteúdo envolve encontrar o raio de convergência pelo teste da razão e, em seguida, verificar a convergência nos extremos do intervalo.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão a an = 2^nx^nn^2. Calculamos
L = limntoinfty |an+1an| = limntoinfty |2^n+1x^n+1/(n+1)^22^nx^n/n^2| = limntoinfty 2|x|;n^2(n+1)^2 = 2|x|
Converge se L<1, ou seja
2|x|<1 Longrightarrow |x|<tfrac12
Logo o raio de convergência é R=tfrac12 e o intervalo aberto de convergência é l(-tfrac12,tfrac12r).

Passo 3

Verificamos o extremo x = tfrac12. Substituindo:
2^nl(tfrac12r)^nn^2 = 1n^2
A série sum 1/n^2 é uma série p-com p=2>1, portanto converge.

Passo 4

Verificamos o extremo x = -tfrac12. Substituindo:
2^nl(-tfrac12r)^nn^2 = (-1)^nn^2
Como sum1/n^2 converge, a série de termos (-1)^n/n^2 também converge absolutamente (e, portanto, converge).

Resposta

O intervalo de convergência é
l[-tfrac12,tfrac12r]

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