Encontrar o intervalo de convergência das seguintes séries de potências (Verificar a convergência, ou não, nos extremos dos intervalos):
.
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
O conteúdo envolve encontrar o raio de convergência pelo teste da razão e, em seguida, verificar a convergência nos extremos do intervalo.
Passo 2
Aplicamos o teste da razão a
. Calculamos
Converge se
L<1 , ou seja
Logo o raio de convergência é
R=tfrac12 e o intervalo aberto de convergência é
l(-tfrac12,tfrac12r) .
Passo 3
Verificamos o extremo
x = tfrac12 . Substituindo:
A série
sum 1/n^2 é uma série
p -com
p=2>1 , portanto converge.
Passo 4
Verificamos o extremo
x = -tfrac12 . Substituindo:
Como
sum1/n^2 converge, a série de termos
(-1)^n/n^2 também converge absolutamente (e, portanto, converge).
Resposta
O intervalo de convergência é