Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
c. d yd t-2 y=3 e^t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem dydt-2y=3e^t. O conteúdo aqui é ODE linear de 1ª ordem e vamos usar fator integrante para encontrar a solução geral.

Passo 2

Escrever a equação na forma padrão dydt+P(t)y=Q(t). Aqui temos P(t)=-2 e Q(t)=3e^t.

Passo 3

Calcular o fator integrante mu(t)=e^integral P(t),dt=e^integral(-2),dt=e^-2t.

Passo 4

Multiplicar ambos os lados da equação por mu(t) e reconhecer a derivada de um produto:
e^-2tl(dydt-2yr)=3e^te^-2t=3e^-t,
o lado esquerdo vira
ddtl(y,e^-2tr)=3e^-t

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a t:
y,e^-2t=integral3e^-t,dt=-3e^-t+C

Passo 6

Isolar y:
y=-3e^-te^2t+C e^2t=-3e^t+C e^2t

Resposta

y(t)=C e^2t-3e^t

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