Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
e. 2 d yd t+y=3 t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem 2 dydt + y = 3t. O conteúdo é “equação diferencial linear de 1ª ordem” e vamos usar o fator integrante para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro colocamos em forma padrão y' + p(t)y = g(t). Dividindo tudo por 2, temos
y' + tfrac12,y = tfrac32,t
Aqui p(t)=tfrac12 e g(t)=tfrac32 t.

Passo 3

O fator integrante é
mu(t) = e^integral p(t),dt = e^integral tfrac12,dt = e^t/2

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(t):
e^t/2y' + tfrac12 e^t/2y = tfrac32 t,e^t/2
O lado esquerdo é a derivada de y,e^t/2, ou seja
ddtl(y,e^t/2r) = tfrac32 t,e^t/2

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a t:
integral ddt(y,e^t/2),dt = integral tfrac32 t,e^t/2,dt
No lado direito, usando integral t e^atdt = (tfrac t a - tfrac1a^2)e^at com a=tfrac12, obtemos
integral tfrac32 t e^t/2dt = (3t - 6)e^t/2 + C
Logo
y,e^t/2 = (3t - 6)e^t/2 + C

Passo 6

Por fim, isolamos y dividindo por e^t/2:
y(t) = 3t - 6 + C e^-t/2

Resposta

A solução geral é y(t) = 3t - 6 + C e^-t/2, onde C é constante arbitrária.

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