Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
h. d ud x=x^2 e^x+ux

Passo 1

A equação dada é dudx=x^2e^x+ux. Isso é uma EDO linear de primeira ordem. Para resolver, vamos reescrever na forma padrão du/dx + p(x)u = q(x) e usar o fator integrante.

Passo 2

Reescrevemos a equação isolando os termos de u:
dudx-1xu = x e^x
Aqui temos p(x)=-1/x e q(x)=x e^x.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x)=e^integral p(x),dx=e^integral(-1/x),dx=e^-ln|x|=1x

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(x)=1/x e reconhecemos o lado esquerdo como derivada de um produto:
1xdudx-1x^2u = e^x
que é equivalente a
ddxl(uxr)=e^x

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
ux=integral e^x,dx = e^x+C
Multiplicando por x, obtemos
u(x)=x e^x+C x

Resposta

u(x)=x e^x+C x

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