Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
f. d yd t+y=5 sin (2 t)

Passo 1

O exercício pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem y'+y=5sin(2t). Vamos usar o método do fator integrante, que é o conteúdo-chave aqui, e você vai ver como derivar cada passo sem pular nada.

Passo 2

Primeiro calculamos o fator integrante mu(t), que é e^integral 1,dt. Como o coeficiente de y é 1, temos
mu(t)=e^integral 1,dt=e^t

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(t)=e^t. Isso transforma o lado esquerdo em derivada de produto:
e^t y'+e^t y=ddtl(e^t yr)
Logo a equação vira
ddtl(e^t yr)=5e^tsin(2t)

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a t:
e^t y=integral 5e^tsin(2t),dt + C
Falta, então, calcular integral e^tsin(2t),dt.

Passo 5

Usamos a fórmula
integral e^atsin(bt),dt=e^ata^2+b^2l(asin(bt)-bcos(bt)r)+K
com a=1 e b=2. Portanto,
integral e^tsin(2t),dt=e^t1^2+2^2l(1cdotsin(2t)-2cos(2t)r)=e^t5l(sin(2t)-2cos(2t)r)
Multiplicando por 5 obtemos
integral 5e^tsin(2t),dt=e^tl(sin(2t)-2cos(2t)r)+widetilde C

Passo 6

Voltando ao passo anterior, temos
e^t y=e^tl(sin(2t)-2cos(2t)r)+C
e, isolando y, dividimos por e^t:
y(t)=sin(2t)-2cos(2t)+C,e^-t
Isso finaliza a solução geral da equação.

Passo 7

Passo 8

Resposta

y(t)=sin(2t)-2cos(2t)+C,e^-t

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