Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
a.
a.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem que a gente tem aqui:
. Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, e pra resolver isso, a gente vai precisar usar um método chamado fator integrante. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações lineares de primeira ordem, que é:
No nosso caso,
e
. Isso ajuda a gente a identificar o que usar no próximo passo.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
. Ele é essencial pra gente conseguir simplificar a equação. A fórmula pra calcular o fator integrante é:
Substituindo
:
Passo 4
Com o fator integrante em mãos, a gente multiplica toda a equação original por
:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
O próximo passo é reconhecer que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Isso facilita muito porque agora conseguimos integrar os dois lados.
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados em relação a
:
No lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente
. No lado direito, vamos resolver cada integral separadamente.
Passo 7
Primeira integral no lado direito:
Para isso, usamos integração por partes, onde escolhimos
e
. Assim,
e
. Aplicando a fórmula:
Segunda integral:
Passo 8
Agora, juntando tudo:
Para isolar
, dividimos tudo por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.