Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
a. d yd t+3 y=t+e^-2 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem que a gente tem aqui: d yd t + 3 y = t + e^-2 t. Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, e pra resolver isso, a gente vai precisar usar um método chamado fator integrante. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações lineares de primeira ordem, que é:
d yd t + P(t) y = Q(t)
No nosso caso, P(t) = 3 e Q(t) = t + e^-2 t. Isso ajuda a gente a identificar o que usar no próximo passo.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante mu(t). Ele é essencial pra gente conseguir simplificar a equação. A fórmula pra calcular o fator integrante é:
mu(t) = e^integral P(t) , dt
Substituindo P(t) = 3:
mu(t) = e^integral 3 , dt = e^3 t

Passo 4

Com o fator integrante em mãos, a gente multiplica toda a equação original por mu(t):
e^3 t d yd t + 3 e^3 t y = t e^3 t + e^3 t e^-2 t
Simplificando o lado direito:
e^3 t d yd t + 3 e^3 t y = t e^3 t + e^t

Passo 5

O próximo passo é reconhecer que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto mu(t) y. Ou seja:
dd t ( e^3 t y ) = t e^3 t + e^t
Isso facilita muito porque agora conseguimos integrar os dois lados.

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados em relação a t:
integral dd t ( e^3 t y ) , dt = integral ( t e^3 t + e^t ) , dt
No lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente e^3 t y. No lado direito, vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 7

Primeira integral no lado direito:
integral t e^3 t , dt
Para isso, usamos integração por partes, onde escolhimos u = t e dv = e^3 t dt. Assim, du = dt e v = e^3 t3. Aplicando a fórmula:
integral t e^3 t , dt = t cdot e^3 t3 - integral e^3 t3 , dt = t e^3 t3 - e^3 t9 + C
Segunda integral:
integral e^t , dt = e^t + C

Passo 8

Agora, juntando tudo:
e^3 t y = t e^3 t3 - e^3 t9 + e^t + C
Para isolar y, dividimos tudo por e^3 t:
y = t3 - 19 + e^-2 t + C e^-3 t

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = t3 - 19 + e^-2 t + C e^-3 t
onde C é a constante de integração.

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