Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
b. d yd t+y=t e^t+1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem dydt+y=t e^t+1. O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução geral.

Passo 2

Identificamos que a equação está no formato dydt+p(t)y=g(t), com p(t)=1 e g(t)=t e^t+1. O fator integrante é dado por mu(t)=e^integral p(t)dt=e^integral1,dt=e^t.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação original por mu(t)=e^t. Assim obtemos
ddtl(e^t yr)=e^tl(t e^t+1r)=t e^2t+e^t

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a t. Primeiro separemos a integral:
integral(t e^2t+e^t),dt= integral t e^2t,dt+integral e^t,dt
Para integral t e^2t,dt usamos integração por partes: seja u=t, dv=e^2tdt, então du=dt e v=tfrac12e^2t. Logo:
integral t e^2t,dt=12t e^2t-integral12e^2t,dt=12t e^2t-14e^2t+C1
E
integral e^t,dt=e^t+C2
Somando e agrupando constantes em C, fica
integral(t e^2t+e^t),dt=12t e^2t-14e^2t+e^t+C

Passo 5

Com isso temos
e^t y=12t e^2t-14e^2t+e^t+C
Agora isolamos y dividindo tudo por e^t:
y=12t e^t-14e^t+1+Ce^-t

Passo 6

Pronto! Essa é a solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

y=\frac12tet-\frac14et+1+Ce^{-t}

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