Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
b.
b.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
. O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução geral.
Passo 2
Identificamos que a equação está no formato
, com
e
. O fator integrante é dado por
.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da equação original por
. Assim obtemos
Passo 4
Agora integramos ambos os lados em relação a
. Primeiro separemos a integral:
Para
usamos integração por partes: seja
,
, então
e
. Logo:
E
Somando e agrupando constantes em
, fica
Passo 5
Com isso temos
Agora isolamos
dividindo tudo por
:
Passo 6
Pronto! Essa é a solução geral da equação diferencial dada.
Resposta
y=\frac12tet-\frac14et+1+Ce^{-t}